MỤC LỤC  CHƯƠNG 4   SỐ PHỨC   1  1   DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN   1 A   TÓM TẮT LÝ THUYẾT   1 1      1 2   Hai số phức bằng nhau   1 3   Biểu diễn hình học của số phức   1 4   Biểu diễn hình học của số phức   2 5   Mô-đun của số phức   2 6   Số phức liên hợp   2 7   Cộng, trừ, nhân, chia số phức   3 B   DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP   4 Dạng 1. Bài toán quy về giải phương trình, hệ phương trình nghiệm thực   4 1   Các ví dụ minh họa   4 2   Bài tập áp dụng   5 Dạng 2. Xác định các yếu tố cơ bản của số phức qua các phép toán   10 1   Các ví dụ minh họa   10 2   Bài tập áp dụng   11 Dạng 3. Tính giá trị của biểu thức   12 1   Bài tập áp dụng   13 Dạng 4. Bài toán sử dụng bất đẳng thức trong số phức   14 1   Các ví dụ minh họa   14 2   Bài tập áp dụng   16 C   CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM   20 1   NHẬN BIẾT   20https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/   Chương 4 - Giải 12  2      51 3   THÔNG HIỂU   52 4      63 5   VẬN DỤNG THẤP   63 6      70 7   VẬN DỤNG CAO   70 8      71 2   BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN   72 A   Kiến thức cơ bản   72 B   Bài tập vận dụng   72 Dạng 1. Tập hợp điểm của số phức là đường thẳng và các bài toán liên quan   78 Dạng 2. Tập hợp điểm của số phức là đường tròn, hình tròn, hình vành khăn   81 Dạng 3. Tập hợp điểm của số phức là elíp   89 C   Bài tập vận dụng   89 Dạng 4. Bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất   90 D   Bài tập vận dụng   91 Dạng 5. Sử dụng bình phương vô hướng   98 1   Bài tập áp dụng   99 Dạng 6. Sử dụng hình chiếu và tương giao   102 1   Các ví dụ minh họa   102 2   Bài tập áp dụng   104 E   CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM   108 1   NHẬN BIẾT   108 2      117 3   THÔNG HIỂU   117 4      156  Th.s Nguyễn Chín Em   2   https://emncischool.wixsite.com/geogebra

Chuyên đề số phức – Nguyễn Chín Em

1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  TRƯỜNG THCS-THPT HOA SEN  NĂM HỌC 2020-2021  SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI  TỐT NGHIỆP TRUNG PHỔ THÔNG QUỐC GIA  TỪ NĂM 2017 ĐẾN 2020SỐ PHỨC QUA CÁC KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA  SỐ PHỨC QUA CÁC KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2017-2020  Câu 1.   Cho số phức   z   = 3      2 i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức    ̄ z  A   Phần thực bằng    3   và Phần ảo bằng    2 i .  B Phần thực bằng    3   và Phần ảo bằng    2 .  C Phần thực bằng   3   và Phần ảo bằng   2 i .  D Phần thực bằng   3   và Phần ảo bằng   2 .  Câu 2.   Cho hai số phức   z 1   = 1 +   i   và   z 2   = 2      3 i . Tính môđun của số phức   z 1   +   z 2  A   | z 1   +   z 2 |   =    13 .   B   | z 1   +   z 2 |   =    5 .   C   | z 1   +   z 2 |   = 1 .   D   | z 1   +   z 2 |   = 5 .  Câu 3.  Cho số phức   z   thỏa mãn   (1 +   i ) z   = 3      i . Hỏi điểm biểu diễn của   z   là    M, N, P, Q     A Điểm   P   .   B Điểm   Q .  C Điểm   M   .   D Điểm   N   .   x  y  N   M  P   Q  Câu 4.   Cho số phức   z   = 2 + 5 i . Tìm số phức   w   =   iz   +   z .  A   w   = 7      3 i .   B   w   =    3      3 i .   C   w   = 3 + 7 i .   D   w   =    7      7 i .  Câu 5.   Kí hiệu   z 1 , z 2 , z 3   và   z 4   là bốn nghiệm phức của phương trình   z 4      z 2      12 = 0 . Tính tổng   T   =   | z 1 |   +   | z 2 |   +   | z 3 |   +   | z 4 | .  A   T   = 4 .   B   T   = 2  3 .   C   4 + 2  3 .   D   T   = 2 + 2  3 .  Câu 6.   Cho các số phức   z   thỏa mãn   | z |   = 4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức   w   = (3 + 4 i ) z   +   i   là một đường tròn. Tính bán kính   r   của đường tròn đó.  A   r   = 4 .   B   r   = 5 .   C   r   = 20 .   D   r   = 22 .  Câu 7.     M   trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức   z . Tìm phần thực và phần ảo của số phức   z .  A Phần thực là    4   và phần ảo là   3 .  B Phần thực là   3   và phần ảo là    4 i .  C Phần thực là   3   và phần ảo là    4 .  D Phần thực là    4   và phần ảo là   3 i .  x  y   1   1   2   3   4   3   2   1   O  M  Câu 8.   Tìm số phức liên hợp của số phức   z   =   i (3 i   + 1) .  A   z   = 3      i .   B   z   =    3 +   i .   C   z   = 3 +   i .   D   z   =    3      i   .  Câu 9.   Tính môđun của số phức   z   thỏa mãn   z (2      i ) + 13 i   = 1 .  A   | z |   =    34 .   B   | z |   = 34 .   C   | z |   = 5  34 3   .   D   | z |   =   34 3   .   1 | T N T HP T QG   Những nẻo đường phù sa   Trang 2

Số phức trong đề thi THPT môn Toán (2017 – 2020)

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2021 Facebook Nguyễn Vương    https://www.facebook.com/phong.baovuong   Trang 1  MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1.   (Sở Vĩnh Phúc - 2021)   Tìm phần thực của số phức   2   3 z   i      A.   2    .   B.   3   .   C.   2   .   D.   3    .  Câu 2.   (Sở Lào Cai - 2021)   Cho hai số phức   1   2 z   i       và   2   1   2 z   i       . Khi đó phần ảo của số phức   1   2 . z z  bằng:  A.   2    .   B.   3 i   .   C.   3   .   D.   2 i    .  Câu 3.   (Sở Lào Cai - 2021)   Mô đun của số phức   2   3 z   i       bằng  A.   5   .   B.   13 .   C.   5 .   D.   13   .  Câu 4.   (Sở Hà Tĩnh - 2021)   Cho hai số phức   1   3   2 z   i       và   2   2 z   i       . Số phức   1   2 z   z    bằng  A.   5   i       .   B.   5   i    .   C.   5   i       .   D.   5   i    .  Câu 5.   (Sở Hà Tĩnh - 2021)   Số phức liên hợp của số phức   2   6 z   i       là  A.   2   6 z   i       .   B.   2   6 z   i       .   C.   2   6 z   i       .   D.   2   6 z   i       .  Câu 6.   (Sở Hà Tĩnh - 2021)   Trên mặt phẳng, điểm       1;3 M      là điểm biểu diễn số phức   z   . Phần thực của   z   bằng  A.   1   .   B.   3   .   C.   3    .   D.   1    .  Câu 7.   (Sở Yên Bái - 2021)   Phần ảo của số phức   12   18 z   i       là  A.   18    .   B.   18   .   C.   18 i    .   D.   12   .  Câu 8.   (Sở Tuyên Quang - 2021)   Tìm phần thực và phần ảo của số phức   3   2 z   i       .  A.   Phần thực bằng   3    và phần ảo bằng   2 i    .  B.   Phần thực bằng   3    và phần ảo bằng   2    .  C.   Phần thực bằng   3   và phần ảo bằng   2 i   .  D.   Phần thực bằng   3   và phần ảo bằng   2   .  Câu 9.   (Sở Tuyên Quang - 2021)      M   trong hình vẽ dưới đây biểu thị cho số phức:  A.   2   3 i    .   B.   3   2 i    .   C.   2   3 i       .   D.   3   2 i    .  Câu 10.   (Sở Tuyên Quang - 2021)   Tính môđun của số phức   4   3 z   i       .  A.   5 z      .   B.   7 z      .   C.   25 z      .   D.   7 z      .  Câu 11.   (Sở Tuyên Quang - 2021)   Cho số phức   1   2 .     z   i   Tìm phần ảo của số phức   1   P   z  A.   2    .   B.   2 3     .   C.   2   .   D.   2 3   .  Câu 12.   (Liên   trường   Quỳnh   Lưu   -   Hoàng   Mai   -   Nghệ   An   -   2021)   Cho   hai   số   phức 1   2 2   3 ,   3   2 z   i z   i             . Tích   1   2 z z   bằng  SỐ PHỨC Chủ đề 4NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương      https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ A.   5 i    .   B.   5 i   .   C.   6   6 i    .   D.   12   5 i   Câu 13.   (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021)   Trong mặt phẳng   Oxy         1;   2 M      biểu diễn cho số phức nào sau đây.  A.   1   2 z   i       .   B.   1   2 z   i    C.   2 z   i       .   D.   1   2 z   i      Câu 14.   (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021)   Cho số phức có điểm biểu diễn là   M   như hình vẽ. Phần ảo của số phức   z   là  A.   3   .   B.   3    .   C.   2   .   D.   2    .  Câu 15.   (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021)   Môđun của số phức   2   i    là  A.   5   .   B.   3 .   C.   3   .   D.   5   .  Câu 16.   (Chuyên KHTN - 2021)   Mô đun của số phức   3   2 z   i       bằng  A.   13   .   B.   13   .   C.   5   .   D.   5   .  Câu 17.   (Chuyên KHTN - 2021)   Cho hai số phức   1   2   3 z   i       và   2   2 z   i       . Số phức   1   2   2 w   z z   z       có phần thực bằng  A.   7.   B.   9.   C.   4.   D.   3.  Câu 18.   (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2021)   Số phức có phần thực bằng   2   và phần ảo bằng   1 là  A.   2   . i    B.   1   2 . i    C.   2   . i    D.   1   2 . i   Câu 19.   (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2021)   Cho hai số phức   1   4   3 z   i       và   2   7   5 z   i       . Số phức   2   1 z   z   z       là  A.   11   8 i       .   B.   11   8 i    .   C.   11   8 i       .   D.   11   8 i    .  Câu 20.   (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2021)   Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2   2   5   0 z   z          là  A.   1   2 i    .   B.   1   2 i    .   C.   1   2 i    .   D.   1   2 i    .  Câu 21.   (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2021)   Cho số phức   1   2  z   i   . Điểm biểu diễn số phức liên hợp của   z   trong mặt phẳng tọa độ   Oxy   là điểm  A.   Q.   B.   N.   C.   P.   D.   M.  Câu 22.   (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2021)   Số phức   z   thỏa mãn       1   0 i z   i          là  A.   1   1 2   2  z   i       .   B.   1   1 2   2  z   i       .   C.   1   1 2   2  z   i       .   D.   1   1 2   2  z   i       .

Tổng ôn tập TN THPT 2021 môn Toán: Số phức

T         LUY  N THI       H    N    2 021  N    CHUY       H     OXYZ  S    PH  ( D           )  ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...  ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...  ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...  ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...  ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...  T  I L I      

Nắm trọn chuyên đề hình học Oxyz và số phức

TOANMATH.com   Trang 1  CHUYÊN ĐỀ 4. SỐ PHỨC  BÀI 4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC  Mục tiêu     Kiến thức  +   Nắm vững các định nghĩa về số phức và các phép toán cộng, trừ hai số phức; phép nhân số  phức; phép chia hai số phức.  +   Nắm vững các bài toán cực trị cơ bản về liên quan giữa các yếu tố: Điểm, đường tròn, đường  thẳng, đoạn thẳng, tia, miền đa giác, hình tròn, ...  +   Nắm vững các bất đẳng thức cơ bản liên quan đến môđun số phức và bất đẳng thức Cauchy –  Schwarz.     Kĩ năng  +   Biết thực hiện thành thạo các định nghĩa, các phép toán trên số phức và vận dụng vào giải    +   Biết thực hiện thành thạo việc chuyển đổi ngôn ngữ số phức sang ngôn ngữ hình học.  +   Giải thành thạo các bài toán cực trị cơ bản về liên quan giữa các yếu tố: Điểm, đường tròn,    +   Vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức liên quan đến môđun số phức và bất đẳng thức Cauchy –  Schwarz vào giải các bài toán max, min môđun số phức.TOANMATH.com   Trang 2  I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM  1. Các bất đẳng thức thường dùng  a.   Cho các số phức   1   2 , z   z   ta có:  +)   1   2   1   2 z   z   z   z          (1).     1  1   2   1  0  0,   ,   0,  z  z   k   k   z   kz                           .  +)   1   2   1   2 z   z   z   z          (2).     1  1   2   1  0  0,   ,   0,  z  z   k   k   z   kz                           .  b.   Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz  Cho các số thực   , ,   , a b x y   ta có:           2   2   2   2  ax   by   a   b   x   y               ay   bx    .  2. Một số kết quả đã biết  a.   Cho hai điểm   , A B   cố định. Với điểm   M   bất kỳ luôn có bất đẳng thức tam giác:  +)   MA   MB   AB       , dấu “=” xảy ra   M    nằm giữa hai điểm   , A B   .  +)   MA   MB   AB       , dấu “=” xảy ra   B    nằm giữa hai điểm   , A M   .  b.   Cho hai điểm   , A B   nằm cùng phía đối với đường thẳng   d   và   M   là điểm di động trên   d   . Ta có:  +)   MA   MB   AB       , dấu “=” xảy ra      Ba điểm   ,   , A M B   thẳng hàng.  +) Gọi   A    là điểm đối xứng với   A   qua   d   , khi đó ta có  MA   MB   MA   MB   A B                 , dấu “=” xảy ra      Ba điểm   ,   , A M B    thẳng hàng.  c.   Cho hai điểm   , A B   nằm khác phía đối với đường thẳng   d   và   M   là điểm di động trên   d   . Ta có:  +)   MA   MB   AB       , dấu “=” xảy ra   M    nằm giữa hai điểm   , A B   .  +) Gọi   A    là điểm đối xứng với   A   qua   d   , khi đó ta có  MA   MB   MA   MB   A B                 , dấu “=” xảy ra      Ba điểm   ,   , A M B    thẳng hàng.  d.   Cho đoạn thẳng   PQ   và điểm   A   không thuộc   PQ   ,   M   là điểm di động trên đoạn thẳng   PQ   , khi đó      max   max   , AM   AP AQ    . Để tìm giá trị nhỏ nhất của   AM   ta xét các trường hợp sau:  +) Nếu hình chiếu vuông góc   H   của   A   trên đường thẳng   PQ   nằm trên đoạn   PQ   thì   min   AM   AH    .  +) Nếu hình chiếu vuông góc   H   của   A   trên đường thẳng   PQ   không nằm trên đoạn   PQ   thì      min   min   ; AM   AP AQ    .  e.   Cho đường thẳng      và điểm   A   không nằm trên      . Điểm   M   trên      có khoảng cách đến   A   nhỏ nhất  chính là hình chiếu vuông góc của   A   trên      .

Bài giảng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức

TOANMATH.com   Trang 1  CHUYÊN ĐỀ 4 SỐ PHỨC  BÀI 1. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC  Mục tiêu     Kiến thức  +   Nắm vững khái niệm số phức, số phức liên hợp, hai số phức bằng nhau.  +   Trình bày được công thức tính môđun số phức.  +   Mô tả được biểu diễn hình học của một số phức.     Kĩ năng  +   Biết tìm phần thực, phần ảo của một số phức.  +   Biết tìm số phức liên hợp của số phức       z   a   bi   .  +   Tính được môđun của một số phức.  +   Biết biểu diễn hình học của một số phức.  +   Cho điểm       ; M   a b   là điểm biểu diễn của số phức       z   a   bi   , biết tìm phần thực, phần ảo; biết  tính môđun của   z   .  +   Biết tìm điều kiện để hai số phức bằng nhau.  +   Biết cách tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức   z   thỏa mãn tính chất nào đó.TOANMATH.com   Trang 2  I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM  1. Số phức    Cho số phức   z   có dạng:       z   a   bi   với   ,       a b   , trong đó   a   gọi  là phần thực của   z   ,   b   gọi là phần ảo của   z   ,   i   gọi là đơn vị ảo thỏa  mãn   2   1  i   .    Tập hợp các số phức, kí hiệu là      .  Số phức   z   là số thực nếu   0  b   .  Số phức   z   là số thuần ảo nếu   0  a   .  Số phức   0   0   0        z   i   vừa là số thực, vừa là số ảo (còn gọi là số  thuần ảo).  Số phức liên hợp  Số phức liên hợp của số phức   z   , kí hiệu   z   , là       z   a   bi   .  Môđun của số phức  Môđun của số phức   z   , kí hiệu là   2   2      z   a   b   .  2. Hai số phức bằng nhau    Hai số phức   1   1   1     z   a   b i   và   2   2   2     z   a   b i     và chỉ khi   1   2  1   2           a   a  b   b   .  3. Biểu diễn hình học của số phức  Trên mặt phẳng tọa độ   Oxy   , mỗi số phức   ;   ,           z   a   bi a b     biểu diễn bởi điểm   ( ; ) M a b   . Ngược lại, mỗi điểm   ( ; ) M a b   biểu  Ví dụ:  +)   2  5   7            z   i   ;  +)   2             z   i   ;  +)   4   ,   cos   ,  3   12           z   i w   i u   i   ,...   là  các số thuần ảo.  Ví dụ  +) Số phức   2  5   7      z   i   có số phức  liên hợp là   2  5   7      z   i   ;  +) Số phức   4  3   z   i   có số phức liên  hợp là   4  3   z   i   .  Nhận xét:   Mỗi số thực có số phức  liên hợp là chính nó.  Ví dụ:  Số phức   2  5   7      z   i   có môđun  2  2   2   1229  5   7   7                           z  Ví dụ:  Số phức       z   a   bi   bằng   0   khi và chỉ  khi   0  0           a  b  hay   0  z   .  Nhận xét:  +)    OM   z   ;  +) Nếu   1   2 , z   z   có các điểm biểu diễn

Bài giảng khái niệm số phức

PHI  U H  C T  P - S    PH  C   NĂM H  C   2020      2021  https://www.facebook.com/bank.trieu    Trang   1  VŨ QU  C TRI  U   VŨ QU  C TRI  U  K    THU  T TH    H  NG   S    TRONG TOÁN PH  C  Vũ Qu  c Tri  u   ,   Hà N  i   tháng 6.2021  Tr ong T oán h  c nói chung và toán Ph  c nói riêng, ngoài các phép toán thông thư  ng  ta còn có m  t phép   toán ‘ th    h  ng s    t h  ng s    b  i m  t bi  u th  c ch  a  bi  n. Phép toán này giúp gi  m s    ph  c t  p trong tính toán, rút g  n các bi  u th  c s    ph  c  b  c cao ho  c đôi khi nó còn là đi  m m  u ch  t đ    gi  i quy  t v  n đ  . M  t h  ng s    n  u ch   nhìn nó      góc đ    s    h  c   thì      là đi  u r  t bình thư  ng, th    nhưng khi thay th    nó b  i m  t  bi  u th  c ch  a bi  n phù h  p l  i t  o ra đi  u b  t ng    trong vi  c gi  i quy  t   bài toán .  A.   KI  N TH  C S    D  NG  1.   Cho s    ph       , z   a   bi a b          .Khi đó :  +) 2 2   2 2  . z z   z   z   a   b             .  +)                   2 2   .   .   0  n   n   n n   n  k   z   k   z   z z   z   z   k                   .  2.   V  i hai s    ph  c b  t kì z   và w   ,ta luôn có :  +) .   . z w   z   w    ; n n  z   z    .  +)      0  z z   w w   w        .  +) w z   z   w          ;              z   w   z   w   z   w   .  3 . B  t đ  ng th  c môđun  +) z   w   z   w          . D  u b  ng x  y ra ,   0 k   k          sao cho .w z   k    .  +) w z   z   w          . D  u b  ng x  y ra ,   0 k   k          sao cho .w z   k    .  B.     NG  BÀI TOÁN 1   (   Trích đ    thi th    THPT QG      SGD Thái Bình 2021   ) :   Cho các s    ph  c 1 z   ; 2 z   ; 3 z   tho   mãn 1   4 z      ; 2   5 z      ; 3   2 z      và 1   3   3 1 2   2 4   16   25   80 z   z   z z z   z          .   Giá   tr    c  a   bi  u   th  c 1   2   3 z P   z   z       b  ng  A. 8   .   B. 2   .   C. 1   .   D. 6   .  Nh  n xét   :   Quan sát các h    s    trong gi    thi  t 1   3   3 1 2   2 4   16   25   80 z   z   z z z   z          ta th  y 1   1   1 2 2  16   4   . z   z z         ; 2 2 2   2   2 25   5   . z   z   z          ; 2 2 3   3   3 4   2   . z   z z          .  L  i gi  i  Ch  n B.  T    gi    thi  t 1   4 z      , 2   5 z      , 3   2 z      ta có , 3   3 .   4 z z      ; 1   1 .   16 z z      ; 2   2 .   25 z   z      .PHI  U H  C T  P - S    PH  C   NĂM H  C   2020      2021  https://www.facebook.com/bank.trieu    Trang   2  VŨ QU  C TRI  U   VŨ QU  C TRI  U  Thay   các   h    s    4;   16   và   25   b  i   các   bi  u   th  c   tương    ng      trên   vào   gi    thi  t 1   3   3 1 2   2 4   16   25   80 z   z   z z z   z         , ta đư  c :                  3   3   1   2   1   1   2   3   1 2   2   3 .   .   .   80 z   z   z z   z   z z   z   z   z   z z                  1   2   3   1   2   3   80 z   z   z z z   z           1   2   3   1   2   3   80 z   z   z z z   z           1   2   3   1   2   3 .   .   .   80 z   z   z   z z   z           1   2   3 4.5.2.   80 z   z   z           1   2   3   2 z   z   z            .  BÀI TOÁN 2   (   Trích đ    thi th    THPT QG      THPT Tr  n Hưng Đ  o, Nam Đ  nh   2021   ) :  Cho các s    ph  c ; z w   tho    mãn 4  z   , 5   2   1 iw   i          . G iá tr    nh    nh  t c  a   bi  u th  c 2   16        wz P   z  b  ng  A. 16   .   B. 14   .   C. 18   .   D. 17   .  L  i gi  i  Ch  n B.  Ta có :  *) 5   2   1   5   2   1 iw   i   w   i                         t  p h  p đi  m bi  u di  n t  t c    các s    ph  c w   là đư  ng tròn               2   2  :   2   5   1 C   x   y            *) 2   .   4 . P   w w z   z   z   w   z z   z z   z   z                          .        ; z   a   bi a b          . Vì 4 z       2   2   16 a   b       .  Khi đó : 4 2 P   a   w       .  Gọi            M   w   M   C       .   Ch  n đi  m      2 ;0 E   a   thì 4 P   ME    .  Vì 2   2   2  16   16   4   4   8   2   8 a   b   a   a   a                               .  Chọn            8;0 ;   8;0 A   B    thì đi  m E   thuộc    AB   .  T    hình v    suy ra 5   1   4 ME   MH   JQ   IQ   IJ                    4   16 P   ME          .

Kĩ thuật thế hằng số trong bài toán số phức – Vũ Quốc Triệu

A.   KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.      Cho tam giác   ABC   có góc lớn nhất không quá   120    . Điểm Torricelli của tam giác   ABC   là điểm   T   nằm trong   ABC   và có tổng 3 cạnh   TA   TB   TC   p   q   r                nhỏ nhất. Để tìm ra điểm này, ta dựng 3 tam giác đều   ,   , ACM   BCN   ABO   : giao điểm của 3 đường tròn ngoại tiếp của 3 tam giác đều này (hoặc giao điểm của   ,   , AN   BM   CO   ) chính là điểm Torricelli mà chúng ta cần tìm.  2.   Bất đẳng thức   Cauchy-Schwarz : Với hai dãy số thực   1   2 ,   ,...,   m a   a   a   và   1   2 ,   ,...,   m b b   b   ta luôn có bất                   2 2   2   2   2   2   2 1   2   1   2   1   1   2   2 ...   ...   ... m   m   m   m a   a   a   b   b   b   a b   a b   a b                              Dấu bằng xảy ra khi   1   2 2   2 ...   m  m  a a   a b   b   b          CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN TÌM GTLN - GTNN MÔĐUN SỐ PHỨC3.      hay đẳng thức Ptoleme là một đẳng thức trong hình học Euclid miêu tả quan hệ giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp. Định lý này mang tên nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (tức Claudius Ptolemaeus).  Nếu A, B, C, và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì:   .   .   . AC BD   AB CD   BC AD      4.   Bất đẳng thức Ptoleme   là trường hợp tổng quát của định lý Ptoleme đối với một tứ giác bất kỳ. Nếu   ABCD   là tứ giác bất kỳ thì   .   .   . AC BD   AB CD   BC AD       . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.  5.      Gọi a, b, và c là độ dài các cạnh của 1 tam giác. Gọi d là độ dài của đoạn thẳng nối từ 1 đỉnh của tam giác với điểm nằm trên cạnh (ở đây là cạnh có độ dài là a) đối diện với đỉnh         2   2   2  b m   c n   a d   mn         B.   BÀI TẬP Câu 1:   Cho số phức   z   thỏa mãn   2   3   1        z   i   . Giá trị lớn nhất của   1     z   i   là  A.   13   2    .   B.   4   .   C.   6   .   D.   13   1    .  Lời giải Chọn D

Sử dụng phương pháp hình học giải bài toán tìm GTLN – GTNN môđun số phức

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con ĐườngNơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường  MuÂc luÂc  Chương 4.   SỐ PHỨC   1  Bài 1.   CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC 01   1  Bài 2.   CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC 02   11  Bài 3.   PHƯƠNG TRÌNH PHỨC VỚI HỆ SỐ THỰC   20  Bài 4.   PHƯƠNG TRÌNH HỆ SỐ PHỨC   29  Bài 5.   XỬ LÝ MODULE PHỨC   34  Bài 6.   CƠ BẢN MẶT PHẲNG PHỨC   41  Bài 7.   BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC PHỨC   58  Bài 8.   KĨ NĂNG BÌNH PHƯƠNG VÔ HƯỚNG PHỨC   64

Bài tập tuyển chọn số phức – Nguyễn Hoàng Việt

toanthaycu.com  CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC  (TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM)  A. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN NHỚ.  1. Môđun của số phức: Số phức   z   a   bi         dài của véctơ   OM         2   2  z = a + bi =   a   + b     Tính chất     2   2  z   a   b   zz   OM                    0,   ,   0   0 z   z   z   z                   . '   .   ' z z   z   z           ,   '   0  '   '  z   z   z  z   z           '   '   ' z   z   z   z   z   z                  .   , kz   k   z   k            Chú ý:   2 2 2   2   2   2   2   2   2   2   2   2  2   (   )   4   . z   a   b   abi   a   b   a b   a   b   z   z   z z                                  .  Lưu ý:     1   2   1   2 z   z   z   z          dấu bằng xảy ra       1   2   0 z   kz   k            1   2   1   2 z   z   z   z          dấu bằng xảy ra       1   2   0 z   kz   k          .     1   2   1   2 z   z   z   z          dấu bằng xảy ra       1   2   0 z   kz   k            1   2   1   2 z   z   z   z          dấu bằng xảy ra       1   2   0 z   kz   k                2   2   2   2  1   2   1   2   1   2 2 z   z   z   z   z   z                  2 2  z   z z   z       z      2.Một số quỹ tích nên nhớ  Biểu thức liên hệ   , x y   Quỹ tích điểm M  ax   0 by   c          (1)  z   a   bi   z   c   di                (2)  (1)Đường thẳng   :ax   0 by   c            (2) Đường trung trực đoạn AB với                ,   ,   , A a b   B c d             2   2   2  x   a   y   b   R             hoặc  z   a   bi   R                ; I   a b   , bán kính   R             2   2   2  x   a   y   b   R             hoặc  z   a   bi   R         Hình tròn tâm       ; I   a b   , bán kính   R             2   2 2   2  r   x   a   y   b   R                hoặc  r   z   a   bi   R            Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn         ; I   a b   , bán kính lần lượt là   , r R       2  2   0  y   ax   bx   c   c  x   ay   by   c                           Parabol                2   2  2   2   1 1  x   a   y   c  b   d             hoặc  1   1   2   2   2 z   a   b i   z   a   b i   a                      1   Elip      2   Elip nếu             1   1   2   2 2   ,   ,   ,   , a   AB   A a   b   B a   b      2 a   AB Trang   2             2   2  2   2   1  x   a   y   c  b   d            Hypebol  B.   MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.  TQ1:   Cho số phức   z   thỏa mãn   z   a   bi   z          , tìm   Min  z   . Khi đó ta có     Quỹ tích điểm       ; M   x y   biểu diễn số phức   z   là đường trung trực đoạn   OA   với       ; A a b    2   2  0  1   1  2   2  2   2  Min  z   z   a   b  a   b  z   i                            TQ2:   Cho số phức thỏa mãn điều kiện   . z   a   bi   z   c   di                Tìm   min  z   . Ta có     Quỹ tích điểm       ; M   x y   biểu diễn số phức   z   là đường trung trực đoạn   AB   với             ;   ,   ; A a b   B c d                      2   2   2   2  2   2  ,  2  Min  a   b   c   d  z   d O AB  a   c   b   d                       Lưu ý:     bản.  Ví dụ 1:     Cho số phức thỏa mãn điều kiện   . z   a   bi   z   c   di                Khi đó ta biến đổi  . z   a   bi   z   c   di   z   a   bi   z   c   di                                    Cho số phức thỏa mãn điều kiện   . iz   a   bi   z   c   di                Khi đó ta biến đổi  .  a   bi   c   di  iz   a   bi   iz   c   di   z   z   z   b   ai   z   d   ci  i   i                                                         Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.  TQ:   Cho số phức   z   thỏa mãn điều kiện       0 0 z   a   bi   R   z   z   R                   . Tìm   , Max   Min  z   z   . Ta có     Quỹ tích điểm       ; M   x y   biểu diễn số phức   z   là đường tròn tâm       ; I   a b   bán kính   R    2   2  0  2   2  0  Max  Min  z   OI   R   a   b   R   z   R  z   OI   R   a   b   R   z   R                                                     Lưu ý:     Ví dụ 1:   Cho số phức   z   thỏa mãn điều kiện   a   bi   R  iz   a   bi   R   z   i   i                         (Chia hai vế cho   i   )  z   b   ai   R            Ví dụ 2:   Cho số phức   z   thỏa mãn điều kiện   z   a   bi   R   z   a   bi   R                      (Lấy liên hợp 2 vế)  Ví dụ 3:   Cho số phức   z   thỏa mãn điều kiện         2   2  a   bi   R   R  c   di z   a   bi   R   z   c   di   c   di   c   d                                      Hay viết gọn   1  0   1  0   0  z   R  z z   z   R   z   z   z                 (Chia cả hai vế cho   0 z   )  Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.

Chuyên đề cực trị số phức

Không quan trọng bạn là ai, những gì bạn làm sẽ định nghĩa con người bạn – Ntd1995  CÁC CÔNG THỨC QUAN TRỌNG CẦN NẮM VỮNG  1   2   1   2 z   z   z   z          1   2   1   2 .   . z z   z z    1   2   1   2 .   . z   z   z z   1   1  2   2  z   z  z   z     z   z   z       2  . z z   z          2 1   2   1   2   1   2 .   .   .   . z z   z z   z z    1 1 2   2  z z z   z               Re   , Im 2   2  z   z   z   z  z   z            1   2   1   2   1   2 z   z   z   z   z   z                1   2   1   2   1   2 z   z   z   z   z   z                              Re   , Im z   z   z   z         45 CÂU TRẮC NGHIỆM + 5 CÂU VÍ DỤ MINH HỌA  Câu 1. Cho số phức   z   a   bi       thỏa mãn điều kiện   2   2   . 4 z   z              2   2 8   12. a P   b       Mệnh đề nào dưới đây đúng? A.         2  2 P   z       .   B.         2 2 4 P   z       .   C.         2  4 P   z       .   D.         2 2 2 P   z       . (THPT ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN) Lời giải Cách 1. Đặt         2   2   2   2   2   2 ,   2   4   4   2   . z   a   bi   a b   z   a   b   abi   z   a   b   abi                                        Khi đó, giả thiết              2 2   2   2   2   2   2   2 4   2   4   4   4 z   z   a   b   a b   a   b                                          2 2   2   2   2   2   2 8   16   4 b   a   a   b   a   b                                       2 2   4   2   2 2   2   2   2 4   4   4   4   2 P   a   b   a   b   z   z   z                                  . Cách 2. Từ giả thiết, ta có                  2 2   2   2 2   2 2   4   4   4   4 . 4 z   z   z   z   z   z z                             2 2   2   2   2   2   2 .   4   4   16   4 .   .   4. .   4   12   4 z   z   z   z   z z   z z   z z   z   z                                                           2 2 2   2   2   2   2 .   2   12   4   12   4   2   1 . z z   z   z   z   z   z                                           2   2   2   2 2   2 . z   a   bi   z   a   bi   z   z   a   b                           Từ             1 , 2   suy ra               2 2 2   2 8   12   2   . P   b   a   z                Chọn D. Câu 2. Cho các số phức   1   2 0,   0 z   z           thỏa mãn điều kiện  1   2   1   2  2   1   1   .  z   z   z   z          Tính giá trị của biểu thức   1   2  2   1  .  z   z  P   z   z       TỔNG ÔN SỐ PHỨC LỜI GIẢI CHI TIẾT 50 CÂU TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC CHỌN LỌC TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA – 2017  Tác giả - Nguyễn Thế Duy - https://www.facebook.com/theduy1995Không quan trọng bạn là ai, những gì bạn làm sẽ định nghĩa con người bạn – Ntd1995  A.   1  2   B.   2.   C.   2.   D.   3   2   .  2 (THPT ĐẶNGTHÚC HỨA - NGHỆ AN) Lời giải Cách 1. Ta có          1   2 1   2   1   2   1   2 1   2   1   2   1   2   1   2 2 2   1   1   1   2  z   z   z   z   z   z   z z z   z   z   z   z z   z   z                                .             2 2   2   1   1   1 1   1   2   2 2   2   2 2.   2.   0   2.   2   0   1  z   z   z z   z z   z   i z   z   z                                                                hoặc   1 2 1  z   i z      . Khi đó   1   2 2   1 1   1   1   3   2 1   1   2   . 1   1   2 2  z   z P   i   i z   z   i   i                                      Cách 2. Chọn   1 1   2 2   2   2 2   1   1   1   3   2 2   . 2   2  z i z   i   z   P i   z   i   z   z                                  Chọn D. Câu 3. Cho số phức   0 z      thỏa mãn         2 3   1 1  iz   i   z   z i            . Số phức   26  9  w   iz    có môđun là A.   9.   B.   26.   C.   6.   D.   5. (THPT PHẠM HỒNG THÁI - HÀ NỘI) Lời giải        , z   x   yi   x y             , khi đó giả thiết                             2   2 3   1   1   . i x   yi   i   x   yi   i   x   y                                  2   2   2   2 3   3   4   2   . xi   y   xi   y   x   yi   x   y   y   x i   x   y   x   y   i                                                    2   2 2   2 4   1 2   2  x   y   x   y x   y   x   y                          . Lấy             1   2    , ta được       4   2   0   5 . x   y   x   y   x   y                     Thế   5 x   y    vào phương trình       1   , ta có   2 0   0 26   9   . 9   45 26   26  y   x y   y   y   x                          Vậy   45   9   26   45   9   1   5   26. 26   26   9   26   26  z   x   yi   i   w   i   i   i                                               Chọn C. Câu 4. Cho số phức   z   thỏa mãn điều kiện   1   2. z         Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  2   . T   z   i   z   i              A.   max   8   2. T      B.   max   4. T      C.   max   4   2. T      D.   max   8. T     (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI) Lời giải        , z   x   yi   x y             , ta có         2   2 1   2   1   2   1   2 z   x   yi   x   y                                      2   2   2   2   2   2 1   2   2   1   2   2   1 x   y   x   x   y   x   y   x                                          Lại có             2   1   2   1 T   z   i   z   i   x   y   i   x   y   i                                                     2   2   2 2   2   2   2   2 1   2   1   2   1   4   2   5 x   y   x   y   x   y   y   x   y   x   y                                                Kết hợp với          , ta được             2   2   2   6   2   2   2   2   2   2 T   x   y   x   y   x   y   x   y                                       t   x   y       , khi đó         2   2   6   2 T   f   t   t   t                với       1;1 . t   

Giải chi tiết 50 câu trắc nghiệm số phức chọn lọc trong các đề thi thử – Nguyễn Thế Duy

GV. TR  N QU  C NGH       s  u t  m và biên t  p   1  S   V    D   1.   Khái ni  m s    ph  c       nh ngh  . M  t   s    ph  c   là m  t bi  u th  c d  ng   a   bi    trong đó   a   ,   b   là các s    th  c và s   i th  a mãn   2   1 i      . Kí hi  u s    ph  c là   z   và vi  t   z   a   bi       , trong đó:     i     c g  i là        o .     a     c g  i là   ph  n th  c .     b     c g  i là   ph  n    o .     Chú ý:   các trư  ng h  p đ  c bi  t:     S    ph  c   0 z   a   i       có ph  n    o b  ng   0     c coi là s    th  c và vi  t là:   0 a   i   a       ,  a               S    ph  c   có   ph  n   th  c   b  ng   0     c   g  i   là   s     o   (còn   g  i   là   thu  n    o):  0   (   ) z   bi   bi   b                  S    0   0   0   0 i   i          v  a là s    th  c v  a là s     o.       nh ngh  . Hai s    ph  c   z   a   bi       và   z   a   b i              (   a   ,   b   ,   a    ,   b        ) b  ng nhau khi và  ch    khi   a   a     và   b   b     . Khi đó ta vi  t   z   z     .       nh ngh  . V  i m  i s    ph  c   z   a   bi       (a, b       ) ta luôn có s    ph  c   z   a   bi          (   a   ,  b         ) là s      i c  a s    ph  c   z   .  2.   Bi  u di  n hình h  c c  a s    ph  c  M  i s    ph  c   z   a   bi       (   a   ,   b         ) đư  c bi  u di  n b  i đi  m       ; M   a b   . Khi đó, ta thư  ng vi  t      M   a   bi    hay       M   z   . G  c   O   bi  u di  n s    0   .  M  t ph  ng t  a đ    v  i vi  c bi  u di  n s    ph  c g  i là   m  t ph  ng ph  c :     Tr  c   Ox   g  i là   tr  c th  c .     Tr  c   Oy   g  i là   tr  c    o .  3.   Phép c  ng và phép tr    s    ph  c       nh ngh  .   T  ng hai s    ph  c   1   1   1 z   a   b i       ,   2   2   2 z   a   b i       v  i       1   1   2   2 ,   ,   , a   b   a   b         là s   ph  c             1   2   1   2   1   2 z   z   z   a   a   b   b   i                  Như v  y đ    c  ng hai s    ph  c   ta l  y   th  c c  ng th  c,    o c  ng    o .     Tính ch  t c  a phép c  ng s    ph  c:     K  t h  p:             1   2   3   1   2   3 z   z   z   z   z   z                ,      1 z   ,   2 z   ,   3 z           Giao hoán:   1   2   2   1 z   z   z   z          ,      1 z   ,   2 z           C  ng v  i   0   :   0   0 z   z   z             ,   z         C  ng v  i s      i:             0 z   z   z   z                 nh ngh  .  Hi  u hai s    ph  c   1   1   1 z   a   b i       ,   2   2   2 z   a   b i       v  i       1   1   2   2 ,   ,   , a   b   a   b         là t  ng c  a   1 z   v  i   2    z   ,  t  c là:             1   2   1   2   1   2 z   z   z   a   a   b   b   i                  Như v  y đ    tr    hai s    ph  c   ta l  y   th  c tr    th  c,    o tr     o .         c c  a phép c  ng và phép tr    s    ph  c:  4 Ch       O   a   x  b  y  M

Tài liệu tự học chủ đề số phức – Trần Quốc Nghĩa

Mô tả tài liệu đang được cập nhật...

Công thức và thủ thuật tính nhanh bài toán cực trị số phức – Cao Văn Tuấn

Hay có bao gi    b  t câu h  i r  ng:  N  u trên m  t ph  ng t    , Oxy   t  p h  m bi  u di  n s    ph  c   z   là đườ ng tròn và v  i  1   2 ; z   z         thì t  p h  m bi  u di  n s    ph  c   1   2 w   z z   z       là hình gì hay ch  i  u r  ng nó có còn là m  ng tròn hay không? Và n  u      t  p h  m bi  u di  n   w   là đườ ng tròn th  t thì tâm và bán kính c  a nó tính b  ng cách nào cho nhanh ?  Chúng ta cùng nhau tìm hi  u k  t qu    nhé!  Cho s    ph  c   z th  a mãn   2   3   1. z   i          Giá tr    l  n nh  t c  a   1 z   i       là:  A.   13   2    B.   4  C.   6   D.   13   1   (Trích:      thi th    trườ ng THPT Chuyên Phan B  i Châu- Ngh    An-L  n2 )  T  P H  M BI  U DI  N S    PH  C LIÊN QUAN T  NG TRÒN    Cho các s    ph  c   z th  a mãn   4. z      Bi  t r  ng t  p h  m bi  u di  n các s    ph  c       3   4 w   i z   i          là m  ng tròn. Tính bán kính   r c  ng tròn     A.   4 r      B.   5 r    C.   20 r      D.   22 r     ( Trích:       minh h  a l  n 1    B    GD -   B  n có th    gi  i bài toán này trong 30s mà v  n t    tin v  i k  t qu    c  a mình hay không?  Và c    bài toán này n  a, ch    5s có th    cho k  t qu   chính xác hay không? Biên so  n:    ng Thanh - Facebook.com/thanhdangvqK  t qu    quen thu  c: K  t qu    ta có trong bài đọ c này: ( Các k  t qu    xét trong h    t    ) Oxy  Ch  ng minh: Và t    KQ1   ta có   KQ 2 !     Ch  ng minh   KQ3   tương tự   KQ2  Các b    húng ta cùng luy  n l  p nhé   !  KQ 2:   Cho   1   2   2 ;   ,   0, z   z   z        s    ph  c   z th  a mãn   1   . z   z   R      Khi đó ta có:     T  p h  m bi  u di  n s    ph  c   1   2 . w   z z    là đườ ng tròn, tâm là    m bi  u di  n c  a   1   2 . z z   , bán kính   2 . R z     T  p h  m bi  u di  n s    ph  c   2 2  z  w   z     là đườ ng tròn, tâm là    m bi  u di  n c  a   1  2  z  z   , bán kính  2  R  z     T  p h  m bi  u di  n s    ph  c   3   2 w   z   z       là đườ ng tròn, tâm là    m bi  u di  n c  a   1   2 z   z    , bán kính   R     T  p h  m bi  u di  n s    ph  c   4   2 w   z   z       là đườ ng tròn, tâm là    m bi  u di  n c  a   1   2 z   z    , bán kính   R  KQ 1:   Cho   1   , z         s    ph  c   z th  a mãn   1   . z   z   R       T  p h  m bi  u di  n s    ph  c   z   là đườ ng tròn      1 ;   , I   R   trong đó   1 I   là điể m bi  u di  n c  a s    ph  c   1 z   trên m  t ph  ng t    . Oxy  1   1   2   2   1   2   1   2   2 .   .   . w   z z   z z   z z   z   z   z   R z                   hay   1   1   2   2 . w   z z   R z      1 1   1   1 2 2   2   2   2   2   2  z   z z   z   z   z   z   R w   z   z   z   z   z   z                      hay   1 2 2   2  z   R  w   z   z                 3   1   2   2   1   2   1 w   z   z   z   z   z   z   z   z   R                            hay       3   1   2 w   z   z   R                   4   1   2   2   1   2   1 w   z   z   z   z   z   z   z   z   R                            hay       4   1   2 w   z   z   R         T  P H  M BI  U DI  N S    PH  C LIÊN QUAN T  NG TRÒN KQ3:   Cho   1   2   2 ;   ;   , z   z   z         s    ph  c   z th  a mãn   1   . z   z   R       Khi đó:  T  p h  m bi  u di  n s    ph  c   2   3 w   z z   z       là m  ng tròn, tâm là    m bi  u di  n c  a s   ph  c   2   1   3 z z   z    , bán kính   2   . z   R Biên so  n:    ng Thanh - Facebook.com/thanhdangvq

Tìm nhanh tọa độ tâm và bán kính đường tròn trong bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức – Đặng Thanh

Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017   Trang 1  S  u t  m và biên so  n:   Lê Hồng Quốc     Câu 1.   (Đề khảo sát của Bộ dành cho 50 trường)   Xét số phức   z   thỏa   13 z   i       . Tìm giá trị nhỏ nhất  T   của   9   5 z   i       .  A.   2   13 T      .   B.   3   13 T      .   C.   13 T      .   D.   4   13 T      .  Hướng dẫn giải. Chọn A.     z   x   yi       (với   , x y         ). Khi đó   13 z   i           2 2   1   13 x   y             .  Cách 1.     Chọn   13 sin 13 cos   1  x   t y   t                 . Ta có                          2   2 2   2   2 9   5   9   5   13 sin   9   13 cos   6 P   z   i   x   y   t   t                                          2   2 13 sin   cos   18   13 sin   12   13 cos   117   130   6   13 3sin   2 cos t   t   t   t   t   t                           130   78sin   52   208 t   P                     , với 3 sin   13 2 cos   13                  . Vậy   2   13 T      .  Cách 2.   Hình học.     9   5   9   5 w   z   i   w   z   i                                 2   2   2 9   5 w   x   y                suy ra tập hợp các số phức   w   nằm trên        1  C   có tâm là       9; 5 A   , bán kính   1  R   . Mà   13 z   i           2 2   1   13 x   y             suy ra tập hợp các số phức   w   nằm trên đường tròn       2  C   có tâm là       0;   1 B      , bán kính   2   13 R      . Gọi   C   là      thuộc      tròn       1  C   ,   suy   AC   w    ,   mà   C   thuộc       2  C   ,   suy   ra 2   2  AB   R   AC   AB   R             , ta có       9;   6   117   3   13 AB   AB                      suy ra   2   13   4   13 AC       . Vậy 2   13 T      .  Câu 2.   Có bao nhiêu giá trị thực của   m          2   2 4   4   1   3   0 z   m   z   m   m                có hai nghiệm phức thỏa   1   2   2 z   z       .  A.   0   .   B.   1   .   C.   2   .   D.   4   .  Hướng dẫn giải. Chọn C.  Cách 1:  '   4   4 m       .  Trường hợp 1:   '   0    1 m       . Khi đó phương trình       2   2 4   4   1   3   0 z   m   z   m   m                có hai nghiệm là 1  z   a   bi       ,   2  z   a   bi       với   , a b     . Ta có   2   2 1   2   2   1 z   z   a   b                 1   . Theo định lí Vi-ét ta có 2 1   2 3 4  m   m  z z           2   , từ    1   và       2   suy ra   1 4  m m            .Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017   Trang 2  S  u t  m và biên so  n:   Lê Hồng Quốc     Suy ra   m          3   .  Trường hợp 2:   '   0   1 m          phương trình đã cho có hai nghiệm   1   2   1 z   z       , suy ra   1   2   2 z   z       . Suy ra   1 m      thỏa       4   .  Trường hợp 3:   '   0    1 m       . Khi đó phương trình có hai nghiệm thực   1   2 , z   z   thảo hệ thức Vi-ét 1   2 2 1   2 1 3 4  z   z   m m   m  z z                     . Theo      ta   có   1   2   2 z   z       2   2 1   2   1   2 2   4 z   z   z z                 2 1   2   1   2   1   2 2   2   4 z   z   z z   z z                     2   2 2   3   3 1   4 2   2  m   m   m   m m                          2   2 2 1   4   3   0   3 3   3   0  m   khi   m   m   m m   khi m   m                                      5   . Vậy từ       3   ,       4   ,       5   suy ra   3 m      ,   1 m      thỏa.  Cách 2:  Phương trình       2   2 4   4   1   3   0 z   m   z   m   m                luôn có hai nghiệm phức   1   2 , z   z   , theo định lí Vi-ét ta có 1   2 2 1   2 1 3 4  z   z   m m   m  z z                     . Theo yêu cầu bài toán ta có   1   2   2 z   z       2   2 1   2   1   2 2   4 z   z   z z            2   2 1   2   1   2 1   2 2   4 2  z   z   z   z   z z                       2   2 1   2   1   2   1   2   1   2 4   4   8 z   z   z   z   z z   z z                                2   2   2   2 1   1   3   3   8 m   m   m   m   m   m                                2   2 1   1   3   8 m   m   m   m                                                                         2   2 2   2 2   2 1   1   3   8   1 1   1   3   8   1; 0   3; 1   1   3   8   0   3  m   m   m   m   khi m m   m   m   m   khi m m   m   m   m   khi   m                                                                                                    2 2 2   6   8   0   1 2   4   6   0   1; 0   3; 2   6   0   0   3  m   m   khi m m   m   khi m m   khi   m                                                                     1   3 m   m             . Vậy   3 m      ,   1 m      thỏa.  Câu 3.   (THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước)   Cho   z         thỏa mãn         10 2   1   2 i   z   i z              . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức       3   4   1   2 w   i z   i             là đường tròn tâm   I   , bán kính   R . Khi đó  A.       1;   2 5  I R                 .   B.       1; 2 5  I R           .   C.       1; 2 5  I R              .   D.       1;   2 5  I R              .  Hướng dẫn giải Chọn  Nhận xét.       , vì chỉ có 1 số phức   z         thỏa         10 2   1   2 i   z   i z              , nên tập hợp điểm biểu diễn số phức   w   cũng chỉ có 1 điểm chứ không phải là 1 đường tròn.

Hướng dẫn giải một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử – Lê Hồng Quốc

Tμi   liÖu   to ̧n 12   n ̈m häc   2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng   -   0946798489   Page | 1  A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.  SỐ PHỨC  Xét Hai phần tử   và   bằng nhau   . : Phép cộng : Phép nhân:    , cùng với phép cộng và phép nhân ở trên gọi là tập số phức   . Phần tử   gọi là một số phức.  1. Định nghĩa số phức.  Giao hoán: Kết hợp: Tồn tại phần tử không: Mọi số có số đối: Phép trừ:  2. Tính chất phép cộng.  Giao hoán: Kết hợp: Tồn tại phần tử đơn vị: Mọi số khác   có số nghịch đảo : Giả sử   , để tìm   . Ta có:   . Giải hệ cho ta Vậy, Phép chia:   với  3. Tính chất phép nhân.Tμi   liÖu   to ̧n 12   n ̈m häc   2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng   -   0946798489   Page | 2  Số phức bất kì      ,   , trong đó Hệ thức   , được suy từ định nghĩa phép nhân:   . Biểu diễn   gọi là dạng đại số của số phức   . Do đó:   . : phần thực của   ,   : phần ảo của   . Đơn vị ảo là   . Tổng   số phức:   . Hiệu   số phức:   . Tích   số phức:   .  4. Định lý.  ,   ,   ,   ..., bằng quy nạp ta được:   ,   ,   ,   , Do đó:  5. Lũy thừa đơn vị ảo :  Cho   , số phức   gọi là số phức liên hợp của . Thật vậy,   ( đpcm ). . Thật vậy,   ( đpcm ). là số thực không âm. Thật vậy,   ( đpcm ). Thật vậy, ( đpcm ). Thật vậy, ( đpcm ). Thật vậy,   tức là   ( đpcm ). Thật vậy,   ( đpcm ). , Thật vậy,   , Do đó   ,   ( đpcm ).  6. Số phức liên hợp:

Các dạng toán và bài tập số phức có lời giải chi tiết – Nguyễn Bảo Vương

Câu   1:   (TT   Diệu   Hiền-Cần   Thơ-tháng   10-năm   2017-2018)   Cho hai số thực   x   ,   y   thoả mãn phương trình   2   3   4 x   i   yi          . Khi đó giá trị của   x   và   y   là:  A.   3 x      ,   2 y      .   B.   3 x   i    ,   1 2  y      .   C.   3 x      ,   1 2  y      .   D.   3 x      ,   1 2  y      .  Lời   giải  Chọn   C  Từ   2   3   4 x   i   yi          3 2   4  x y          3 1 2  x y            . Vậy   3 x      ,   1 3  y      .  Câu   2:   (TT   Diệu   Hiền-Cần   Thơ-tháng   10-năm   2017-2018)   Phần thực và phần ảo của số phức 1   2 z   i       lần lượt là:  A.   2   và   1   B.   1   và   2 i   .   C.   1   và   2   .   D.   1   và   i   .  Lời   giải  Chọn   C  Số phức   1   2 z   i       có phần thực và phần ảo lần lượt là   1   và   2   .  Câu   3:   (THPT   Hậu   Lộc   2-Thanh   Hóa-ần   1-năm   2017-2018)   Cho   hai   số   phức       z   a   bi   ,             z   a   b i   ( , ,   ,   )           a b a b   . Tìm phần ảo của số phức    zz   .  A.            ab   a b i   .   B.        ab   a b   .   C.        ab   a b   .   D.        aa   bb   .  Lời   giải  Chọn   B  Ta có:    zz             2                                     a   bi   a   b i   aa   ab i   a bi   bb i                           aa   bb   ab   a b i  Vậy phần ảo của số phức    zz   là        ab   a b   .  Câu   4:   (THPT   Hậu   Lộc   2-Thanh   Hóa-ần   1-năm   2017-2018)   Tìm tất cả các nghiệm của phương trình  2   2   5   0        z   z   trên tập số phức      .  A.   1   2    i   ;   1   2    i   .   B.   1    i   ;   1    i   .   C.   1   2    i   ;   1   2    i   .   D.   1    i   ;   1    i   .  Lời   giải :  Chọn   C  2   2 1   5   4   4              i   . Suy ra phương trình có hai nghiệm phức:   1 2 1   2 1   2          z   i  z   i   .  Câu   5:   (Đề   tham   khảo   BGD   năm   2017-2018)      M   trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức  A.   2 z   i       .   B.   1   2 z   i       .  C.   2 z   i       .   D.   1   2 z   i       .  Lời   giải  Chọn   A         2;1 M      biểu diễn số phức   2 z   i       .  O   x  y  2   1  MCâu   1:   (THPT   Chuyên      KHTN-Hà   Nội   năm   2017-2018)    biểu diễn của số phức           1   2 z   i   i          ?  A.   P   .   B.   M   .   C.   N   .   D.   Q   .  Lời   giải  Chọn   D  Ta có             1   2 z   i   i          3 z   i          . Điểm biểu diễn của số phức   z   là       3;1 Q   .  Câu   2:   (THPT   Chuyên   Hoàng   Văn   Thụ-Hòa   Bình   năm   2017-2018)   Số phức   z   thỏa mãn   5   8 z   i       có phần ảo là  A.   8   .   B.   8 i    .   C.   5   .   D.   8    .  Lời   giải  Chọn   D  Ta có   5   8 z   i       suy ra phần ảo của   z   là   8    .  Câu   3:   (THPT   Chuyên   Hoàng   Văn   Thụ-Hòa   Bình   năm   2017-2018)   Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình   2   1   0 z   z          là:  A.   1   3 2   2   i    .   B.   1   3 2   2   i       .   C.   1   3 2   2   i    .   D.   1   3 2   2   i       .  Lời   giải  Chọn   A  Ta có:   2 1   4   3   3 i             . Phương trình đã cho có hai nghiệm   1   3 2  i    và   1   3 2  i    . Vậy nghiệm phức có phần ảo dương là   1   3 2   2   i    .  Câu   4:   (THPT   Hậu   Lộc   2-Thanh   Hóa   năm   2017-2018)   Cho hai số phức   1   2   3 z   i       ,   2   4   5 z   i       . Số phức   1   2 z   z   z       là  A.   2   2 z   i       .   B.   2   2 z   i       .   C.   2   2 z   i       .   D.   2   2 z   i       .  Lời   giải Chọn   B  1   2   2   3   4   5   2   2 z   z   z   i   i   i                         .

Trắc nghiệm số phức có giải chi tiết trong các đề thi thử Toán 2018

GIẢI TÍCH 12 – HKII      1. NHẬP MÔN SỐ PHỨC  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  1. Số phức và các khái niệm liên quan  1. Cho số phức   z   =   a   +   bi   ( a ,   b      R ) . Khi đó:     a   là phần thực,   b   là phần ảo.     i   là đơn vị ảo,   i 2   = − 1 .     Nếu   a   =   0   thì   z   là số thuần ảo.     Nếu   b   =   0   thì   z   là một số thực. 2. Quan hệ giữa các tập hợp số:     Tập số phức kí hiệu là   C .     Quan hệ các tập hợp số:   N      Z      Q      R      C . 3. Hai số phức bằng nhau: Cho   z 1   =   a   +   bi   và   z 2   =   c   +   di   ( a ,   b ,   c ,   d      R ) . Khi đó:     z 1   =   z 2     { a   =   c b   =   d   .      z 1   =   0     { a   =   0  b   =   0   . 4. Biểu diễn hình học của số phức Mỗi số phức   z   =   a + bi       M ( a ,   b )   trên mặt phẳng tọa độ.  O   x  y  b  a  M 5. Mô-đun số phức:        #     OM      z   và kí hiệu là   | z | .     Từ định nghĩa, suy ra   | z | =    a 2   +   b 2   hay   | a   +   bi | =    a 2   +   b 2   .  Tính chất:     | z | ≥   0 ,    z      C ;   | z | =   0      z   =   0 .       z . z      = | z | .     z    .         z z        = | z | | z  |   .       | z | −     z            z      z       z | +     z    . 6. Số phức liên hợp: Cho số phức   z   =   a   +   bi   ( a ,   b      R ) .     Ta gọi   a      bi   là số phức liên hợp của   z   và kí hiệu là   z .     Vậy,   z   =   a      bi   hay   a   +   bi   =   a      bi     Chú ý:   z . z   = | z | 2   =   a 2   +   b 2  O   x  y  b  a  z   =   a   +   bi   b   z   =   a      bi     Phùng V. Hoàng Em   1      0972.657.617GIẢI TÍCH 12 – HKII     2. Phép toán trên số phức  1. Cộng, trừ hai số phức: Ta cộng (trừ) phần thực theo phần thực, phần ảo theo phần    a   +   bi )   +   ( c   +   di )   =   ( a   +   c )   +   ( b   +   d ) i .    a   +   bi )      ( c   +   di )   =   ( a      c )   +   ( b      d ) i . 2. Phép nhân hai số phức: Ta nhân phân phối, tương tự nhân hai đa thức. Lưu ý:  i 2   = − 1 .  ( a   +   bi )( c   +   di )   =   ( ac      bd )   +   ( ad   +   bc ) i  3. Phép chia hai số phức: Cho hai số phức   z 1   =   a   +   bi   và   z 2   =   c   +   di . Thực hiện phép chia   z 1  z 2  , ta nhân thêm   z 2    z 1  z 2  =   z 1 . z 2  z 2 . z 2  =   ( a   +   bi ) ( c      di )  c 2   +   d 2   =   ( ac   +   bd )      ( ad      bc ) i c 2   +   d 2   =   m   +   ni .  4. Số phức nghịch đảo của   z   là   1  z   . 5. Lũy thừa của đơn vị ảo:     i 2   = − 1 .     i 3   = − i .     i n   =   1   nếu   n   chia hết cho 4.     i n   =   i   nếu   n   chia 4 dư 1.     i n   = − 1   nếu   n   chia 4 dư 2.     i n   = − i   nếu   n   chia 4 dư 3.  3. Phương trình bậc hai với hệ số thực  Xét phương trình   ax 2   +   bx   +   c   =   0 , với   a ,   b ,   c      R   và   a   6   =   0 . Đặt      =   b 2      4 ac , khi đó: 1. Nếu         0   thì phương trình có nghiệm   x 1,2   = − b      2 a   . 2. Nếu      <   0   thì phương trình có nghiệm   x 1,2   = − b      i p|  |  2 a   . 3. Định lý Viet:   x 1   +   x 2   = −   b a   và   x 1 . x 2   =   c a  II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP  d   Vấn đề 1. Xác định các đại lượng liên quan đến số phức  1. Biến đổi số phức   z   về dạng   A   +   Bi  2. Khi đó:     Phần thực là   A ;     Phần ảo là   B ;     Số phức liên hợp là   A   +   Bi   =   A      Bi ;     Mô - đun bằng   p A 2   +   B 2     Phùng V. Hoàng Em   2      0972.657.617

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm số phức – Phùng Hoàng Em

BÀI 4. C  C TR    S    PH  C A. LÍ THUY  T TR  NG TÂM 1. Các b  t    ng th  c th  ng dùng a.   Cho các s    ph  c   1   2 , z   z   ta có: +)   1   2   1   2 z   z   z   z          (1).   ng th  c x  y ra khi và ch    khi   1 1   2   1 0 0,   ,   0,  z z   k   k   z   kz                          . +)   1   2   1   2 z   z   z   z          (2).   ng th  c x  y ra khi và ch    khi   1 1   2   1 0 0,   ,   0,  z z   k   k   z   kz                          .  b.   B  t    ng th  c Cauchy – Schwarz Cho các s    th  c   , ,   , a b x y   ta có:           2   2   2   2  ax   by   a   b   x   y             ng th  c x  y ra khi và ch    khi   ay   bx    .  2. M  t s    k  t qu       t a.   Cho hai    i  m   , A   B   c     nh. V  i    i  m   M   b  t k    luôn có b  t    ng th  c tam giác: +)   M A   MB   AB       , d  u “=” x  y ra   M    n  m gi  a hai    i  m   , A   B   . +)   M A   MB   AB       , d  u “=” x  y ra   B    n  m gi  a hai    i  m   , A   M   .  b.   Cho hai    i  m   , A   B   n  m cùng phía    i v  i    ng th  ng   d   và   M   là    i  m di    ng trên   d   . Ta có: +)   M A   MB   AB       , d  u “=” x  y ra      Ba    i  m   ,   , A   M B   th  ng hàng. +) G  i   A    là    i  m    i x  ng v  i   A   qua   d   , khi      M A   MB   MA   MB   A B                 , d  u “=” x  y ra      Ba    i  m   ,   , A   M B    th  ng hàng.  c.   Cho hai    i  m   , A   B   n  m khác phía    i v  i    ng th  ng   d   và   M   là    i  m di    ng trên   d   . Ta có: +)   M A   MB   AB       , d  u “=” x  y ra   M    n  m gi  a hai    i  m   , A   B   . +) G  i   A    là    i  m    i x  ng v  i   A   qua   d   , khi      M A   MB   MA   MB   A B                 , d  u “=” x  y ra      Ba    i  m   ,   , A   M B    th  ng hàng.  d.   Cho    o  n th  ng   P Q   và    i  m   A   không thu  c   P Q   ,   M   là    i  m di    ng trên    o  n th  ng   P Q   , khi          max   max   , A M   AP AQ    .      tìm giá tr    nh    nh  t c  a   A M   ta xét các tr  ng h  p sau: +) N  u hình chi  u vuông góc   H   c  a   A   trên    ng th  ng   P Q   n  m trên    o  n   P Q   thì   min   A M   AH    . +) N  u hình chi  u vuông góc   H   c  a   A   trên    ng th  ng   P Q   không n  m trên    o  n   P Q   thì      min   min   ; A M   AP AQ    .e.   Cho    ng th  ng      và    i  m   A   không n  m trên      .    i  m   M   trên      có kho  ng cách    n   A   nh    nh  t chính là hình chi  u vuông góc c  a   A   trên      .  f.   Cho   , x   y   là các t  a      c  a các    i  m thu  c mi  n    a giác   1   2   ...   n A A   A   . Khi        l  n nh  t (nh    nh  t) c  a bi  u th  c   F   ax   by       (   , a b   là hai s    th  c        ng th  i b  ng   0   )    t    c t  i m  t trong các   nh c  a mi  n    a giác.  S       H    TH  NG HÓA B  t    ng th  c Cauchy – Schwarz  V  i các s    th  c   , ,   , a b x y   ta có          2   2   2   2  ax   by   a   b   x   y             . D  u “=” x  y ra khi   a   b x   y     .  B. CÁC D  NG BÀI T  P D  ng 1: Ph  ng pháp hình h  c 1. Ph  ng pháp gi  i Vi d  :   Cho s    ph  c   z   th  a mãn              2 2   z   z   i z   z          . Giá tr    nh    nh  t c  a   3 z   i   b  ng  A.   3.   B.   3 .  C.   2   3 .   D.   2.  H  ng d  n gi  i B  c 1:   Chuy  n    i ngôn ng    bài toán s    ph  c   Gi    s        , z   x   yi x y             z   x   yi          . Khi      B  t    ng th  c tam giác  1   2   1   2 z   z   z   z          . D  u “=” x  y ra khi       1   2   0 z   kz   k       . 1   2   1   2 z   z   z   z          . D  u. “=” x  y ra khi       1   2   0 z   kz   k       . 1   2   1   2 z   z   z   z          . D  u. “=” x  y ra khi       1   2   0 z   kz   k       . 1   2   1   2 z   z   z   z   D  u “=” x  y ra khi       1   2   0 z   kz   k       .  Các b  t    ng th  c th  ng dùng

Các dạng bài tập VDC cực trị số phức

Max   -   Min   Module   S    Ph  c   NĂM H  C   2019      2020  Trên con đư  ng thành công không có d  u chân c  a nh  ng k    lư  i bi  ng      Trang   1     NGUY  N HOÀNG VI  T   LUYENTHITRACNGHIEM.VN  GIÁ TR    L  N NH  T VÀ GIÁ TR    NH    NH  T C  A BI  U TH  C CH  A MODUL S   PH  C      D  NG TOÁN 1.     M VÀ ĐƯ  NG TH  NG  Cho đư  ng th  ng :   0 Ax   By   C             và đi  m . M        m N      sao cho NM   nh    nh  t K    là hình  chi  u c  a N   lên ,    nghĩa là      min   d   ,   . NM   NK   N   M   K                min   2   2  ,   C z   OH   d   N   A   B                 Khi đó M   H    và t  a đ  (   ). H   OH       min   2   2  (   )   ,   Ax   By   C z   x   y i   NK   d   N   A   B                        Khi đó M   K    và t  a đ  . K   NK   BÀI T  P T  I L  P  Câu 1:   Cho z   x   yi       th  a 2   4   2 z   i   z   i             và z     t giá tr    nh    nh  t. Tính 3   2 x   y    b  ng  A . 2.   B. 3.   C. 4.   D. 5.  L  i gi  i  Ch  n A  Ta có: 2   4   2 z   i   z   i           (   2)   (   4)   (   2) x   y   i   x   y   i                    2   2   2   2  (   2)   (   4)   (   2) x   y   x   y                    4   0 : x   y            là đư  ng th  ng . d  Khi đó: min min  z   OM   z   OM        . M   H      Do :   4   0 OH   d   x   y           :   0. OH   x   y   m           (0;0)   0 O   OH   m        :   0. OH   x   y         T  a đ  H   d   OH       th  a 4 0  x   y x   y              Max   -   Min   Module   S    Ph  c   NĂM H  C   2019      2020  Trên con đư  ng thành công không có d  u chân c  a nh  ng k    lư  i bi  ng      Trang   2     NGUY  N HOÀNG VI  T   LUYENTHITRACNGHIEM.VN 2   3   2   2. 2  x   x   y y                    Cách 2 . T  :   4 d   y   x     2   2   2   2   2  (4   )   2(   2)   8   8   2   2. z   x   y   x   x   x                                 Suy ra: min   2   2   2   2   3   2   2. z   x   y   x   y                        Cách 3 . S    d  ng Cauchy      Schwarz, có 2   2   2   2 2   2   (   )   4   2   2. 1   1   1   1   2  x   y   x   y z   x   y                         D  u "   "    khi x   y    và 4 x   y     2   3   2   2. x   y   x   y                     Lưu ý . N  u đ    bài ch    yêu c  u tính min | |   , z   thì nó là min | |   (   ;   ). z   OH   d O d      Câu 2:   Cho z   x   yi   th  a mãn 1   5   3 z   i   z   i   và z     t giá tr    nh    nh  t. Tìm . 3 x   y  A. 5 12   B. 12 5   C . 12 5   D. 5 12  L  i gi  i  Ch  n C  Ta có 1   5   3   1   5   3 z   i   z   i   x   yi   i   x   yi   i 2   2   2   2  1   5   3   1 1   5   3   1 2   10   26   6   2   10 3   4   0   4   3  x   y   i   x   y   i x   y   x   y x   y   x   y x   y   x   y  Ta có 2 2 2   2   2   2   6   8   8 4   3   10   24   16   10   5   5   5  z   x   y   y   y   y   y   y  Suy ra min  8   6   2   12 3 5   5   5   5  z   y   x   x   y   .  Câu 3:   Cho z   x   yi   th  a mãn 3   2 z   i   z   i   và z     t giá tr    nh    nh  t. Tìm . 2 x   y  A . 1   .   B. 1 5   .   C. 2   .   D. 3 5   .  L  i gi  i  Ch  n A  Ta có 3   2   3   2   1 z   i   z   i   x   y   i   x   y   i x   y   x   y  2   2   2 2   3   2   1 x   y   x   y 2   1   0   2   1  Ta có 2 2 2   2   2   2   2   1   1 2   1   5   4   1   5   5   5   5  z   x   y   y   y   y   y   y

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa môđun số phức

SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THQGhttps://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/   Chương 3-Giải tích 12  NỘI DUNG CÂU HỎI Câu 1.   Kí hiệu   z 1 ,   z 2   là hai nghiệm phức của phương trình   z 2      3 z   + 5 = 0 . Giá trị của   | z 1 |   +   | z 2 |  bằng  A .   2  5 .   B .   3 .   C .    5 .   D .   10 .  Lời giải.  Phương trình   z 2      3 z   + 5 = 0   có hai nghiệm là   z 1   = 3 2     11 2   i ;   z 2   = 3 2 +   11 2   i . Do đó   | z 1 |   +   | z 2 |   = 2       3 2   2  +    11 2   2  = 2  5 . Chọn đáp án A     Câu 2.      M   trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức nào?  A .   z   = 1 + 2 i .   B .   z   = 1      2 i .   C .   z   =    2 +   i .   D .   z   = 2 +   i .  x  y  O  M   2  1  Lời giải.  Ta có   M   (  2; 1)   là điểm biểu diễn của số phức có phần thực bằng    2   và phần ảo bằng   1 . Suy ra điểm biểu diễn của   M   là số phức   z   =    2 +   i . Chọn đáp án C     Câu 3.     z   =    1+2 i  A .   N   .   B .   P   .   C .   M   .   D .   Q .  x  y   2    1   2   1  1  2  P  Q  M  N  Lời giải.  Số phức   z   =    1 + 2 i   có phần thực    1 , phần ảo   2   nên có điểm biểu diễn tọa độ   (  1; 2)   chính là   Q . Chọn đáp án D     Câu 4.   Tìm các số thực   a   và   b   thỏa mãn   2 a   + ( b   +   i ) i   = 1 + 2 i   với   i   là đơn vị ảo.  A .   a   = 0 ,   b   = 2 .   B .   a   = 1 2   ,   b   = 1 .   C .   a   = 0 ,   b   = 1 .   D .   a   = 1 ,   b   = 2 .  Lời giải.  Ta có   2 a   + ( b   +   i ) i   = 1 + 2 i      (2 a      1) +   bi   = 1 + 2 i     { a   = 1  b   = 2 .  Chọn đáp án D     Câu 5.   Kí hiệu   z 1 ,   z 2   là hai nghiệm phức của phương trình   z 2      3 z   + 5 = 0 . Giá trị của   | z 1 |   +   | z 2 |  bằng  A .   2  5 .   B .    5 .   C .   3 .   D .   10 .  Lời giải.  z 2      3 z   + 5 = 0          z   = 3 +    11 i  2  z   = 3    11 i  2   z 1 |   =   | z 2 |   =    5    z 1 |   +   | z 2 |   = 2  5 .  Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em   2   https://emncischool.wixsite.com/geogebra

Số phức trong các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán

   THPT QG L  p KHXH   S    PH  C  Fb :   ThayTrongDGL   Tài li  u biên so  n và sưu t  m   Chúc các em h  c t  t !  Page 1  CHƯƠNG   4   S    PH  C  M  C L  C  BÀI 1. S    PH  C  ................................ ................................ ................................ ................................ ..... 2   _ D  NG 1 . XÁC Đ  NH CÁC Y  U T    CƠ B  N C  A S    PH  C ................................ .............................. 2   _ D  NG 2 . BI  U DI  N HÌNH H  C C  A S    PH  C   ................................ ................................ ................. 5   _ D  NG 3 . S    PH  C B  NG NHAU   ................................ ................................ ................................ ......... 10      KI  M TRA 45 PHÚT   ................................ ................................ ................................ ................................ 14  BÀI 2. C  NG TR    VÀ NHÂN S    PH  C  ................................ ................................ ...................... 17   _ D  NG 1 . TH  C HI  N PHÉP TÍNH   ................................ ................................ ................................ ........ 17   _ D  NG 2 . XÁC Đ  NH CÁC Y  U T    CƠ B  N C  A S    PH  C QUA CÁC PHÉP TOÁN   .................. 22   _ D  NG 3 . BÀI TOÁN QUY V    PT H    PT NGHI  M TH  C   ................................ ................................ . 26   _ D  NG 4 . BÀI TOÁN T  P H  P ĐI  M BI  U DI  N S    PH  C ................................ ............................. 31  BÀI KI  M TRA 45 PHÚT ................................ ................................ ................................ ............................... 37  BÀI 3. PHÉP CHIA S    PH  C   ................................ ................................ ................................ ........... 40   _ D  NG 1 . TH  C HI  N PHÉP TÍNH   ................................ ................................ ................................ ........ 40   _ D  NG 2 . TH  C HI  N PHÉP TÍNH T      U T    LIÊN QUAN Đ  N S    PH  C   . 44   _ D  NG 3 . GI  I PT B  C NH  T T      U T    LIÊN QUAN Đ  N S    PH  C   ........ 49  BÀI KIỂM TRA 45 PHÚT ................................ ................................ ................................ ............................... 54  BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH B  C HAI V  I H    S    TH  C   ................................ ............................. 57   _ D  NG 1 . TÌM CĂN B  C HAI C  A S    TH  C ÂM   ................................ ................................ .............. 57   _ D  NG 2 . TÌM NGHI  M PH  C C  A PHƯƠNG TRÌNH B  C HAI      TÌM CÁC Y  U T    LIÊN QUAN    N HAI NGHI  M  ................................ ................................ ................................ ................................ ......... 60   _ D  NG 3 . TÌM NGHI  M PH  C C  A PHƯƠNG TRÌNH B  C CAO  ................................ .................... 65   _ D  NG 4 . M  I LIÊN H    GI  A HAI NGHI  M C  A PHƯƠNG TRÌNH B  C HAI, TÌM PHƯƠNG  TRÌNH KHI BI  T TRƯ  C NGHI  M C  A NÓ   ................................ ................................ ............................ 70      KI  M TRA 45 PHÚT   ................................ ................................ ................................ ................................ 77   THPT QG L  p KHXH   S    PH  C  Fb :   ThayTrongDGL   Tài li  u biên so  n và sưu t  m   Chúc các em h  c t  t !  Page 2  BÀI 1.   S    PH  C   _   D  NG 1 .   XÁC Đ  NH CÁC Y  U T    CƠ B  N C  A S    PH  C   - Phương pháp:     S    ph  c z   có d  ng (   ) 2  ,   ,   1 z   a   bi   a b   R i =   +      = −   .     Ph  n th  c c  a z   là a   , ph  n    o c  a z   là b   .     S    ph  c 0 z   a   i =   +   có ph  n    o b  ng 0     c coi là s    th  c và vi  t là z   a =   .     S    ph  c 0 z   bi   bi =   =   +   có ph  n th  c b  ng 0     c g  i là s     o (hay s    thu  n    o) .     S    0 v  a là s    th  c, v  a là s     o .     Mô đun c  a s    ph  c z   là 2   2  z   OM   a   b =   =   +   .     S    ph  c liên h  p c  a z   là z   a   bi   a   bi =   +   =      .   _ VÍ D    MINH H  A  Ví d    1 .   (Đ    THPTQG 2018   -   Mã 102)   S    ph  c có ph  n th  c b  ng 3 và ph  n    o   b  ng 4 là  A . 3   4 z   i =   +   .   B. 4   3 z   i =      .   C. 3   4 z   i =      .   D. 4   3 . z   i =   +  L  i gi  i  S    ph  c (   ) 2  ,   ,   1 z   a   bi   a b   R i =   +      = −   có ph  n th  c là a   và ph  n    o là b  Ch  n A  Ví d    2 .   (     THPTQG 2017 - Mã đ    104)   Cho s    ph  c 2 z   i =   +   . Tính |   | z   .  A. 5 z   =   .   B. 3 z   =   .   C. 2 z   =   .   D . 5 z   =   .  L  i gi  i  Ta có 2   2   2   2  1   2   5 z   a   b =   +   =   +   =   .  Ch  n D  Ví d    3 .   (     THPTQG 2019 -   Mã đ    101)   S    ph  c liên h  p c  a s    ph  c 3   4 z   i =      là .  A. 3   4 z   i = − −   .   B. 4   3 z   i =      .   C. 3   4 z   i =   +   .   D. 4   3 . z   i =   +  L  i gi  i 3   4   3   4 z   i   z   i =         =   +  Ch  n C   _ BÀI T  P ÁP D  NG   1. Nh  n bi  t  Câu 1.   (Đ    THPTQG   2018   -   Mã 101)   S    ph  c 3   7 z   i = − +   có ph  n    o b  ng  A. 3   .   B. 7 i   .   C. 3    .   D. 7   .  ............................................................................................................................. .................  ................................................................................................................ ..............................

Tài liệu tự học chuyên đề số phức – Nguyễn Trọng

Trang 1/29  CHỦ ĐỀ   1.   DẠNG ĐẠI SỐ V    CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC  A.   KIẾN THỨC CƠ BẢN  1.            o   : S    i   mà   2   1 i   = −    c g     o.     S    ph  c   z   a   bi =   +   vớ i   , a b        i   a là ph  c,   b   là ph  o c  a s    ph  c   z .     T  p s    ph  c   {   } 2 /   ,   ;   1 a   bi   a b   i =   +      = −       . T  p s    thự c      là tập con của tậ p s    ph  c      .     Hai s    ph  c b    a   c a   bi   c   di   b   d  =  +   =   +      =   vớ i   , , , a b c d            c bi      Khi ph  o   0 b   z   a   z =      =          là s    thự c,     Khi ph  c   0 a   z   bi   z =      =      là s    thuần ả o,     S    0   0   0 i =   +   vừ a là s    thực, vừ a là s     o.  2.   Môđun củ a s    ph  C.     2   2  z   a   bi   a   b =   +   =   +    c g  a s    ph  c   z .     K  :   z       ta có:  2 2 1   2   1   2 1 1 2   2 0;   0   0; .   .  z   z   z   z   z z z   z   z z z z   z     =      =   = = =  3.   Số   ph  p.     Cho s    ph  c   z   a   bi =   +   . Ta g  i s    ph  p c  a   z là   z   a   bi =      .     K  :   z       ta có:  1   2   1   2 1   1 1   2   1   2 2   2 ; .   .  z   z   z   z   z   z   z   z z   z z z   z z   z   z  =   =      =        =   =          z   là số thực   z   z    =  z   là số thuần ảo   z   z    = −  4.   Phép toán trên tậ p s    ph   Cho hai số phức   1 z   a   bi =   +   và   2 z   c   di =   +   thì:     Phép c  ng s    ph  c:   (   )   (   ) 1   2 z   z   a   c   b   d i +   =   +   +   +     Phép tr    s    ph  c:   (   )   (   ) 1   2 z   z   a   c   b   d i    =      +        M  i s    ph  c   z   a   bi =   +   thì số    i c  a   z   là   (   )   (   ) :   0 z   a   bi   z   z   z   z    = −      + −   =      +   =     Phép nhân s    ph  c:   (   )   (   ) 1   2 . z z   ab   bd   ad   bc i =      +   +     Chú ý  4 4   1 4   2 4   3 1 1  k k k k i i   i i i   i  + + +    =    =     = −     = −      Phép chia s    ph  c:     S    ph  o c  a   0 z   a   bi =   +      :   2   2   2 1   1 z   z z   a   b z  =   =    +Trang 2/29     1   1   2 2   2   2   2   2 2   2 . z   z z   ac   bd   bc   ad   i z   c   d   c   d z  +    =   =   +    +   +   (vớ i   2   0 z      ).  BÀI TẬP TRẮC NGHIỆ M  Câu 1.   Kh    sai ?  A.   Môđun củ a s    ph  c   z   là m      B.   Môđun củ a s    ph  c   z là m    thự c.  C.   Môđun củ a s    ph  c   z   a   bi =   +   là   2   2  z   a   b =   +   .  D.   Môđun củ a s    ph  c   z   là m    thực không âm.  Câu 2.   Cho s    ph  c   5   4 z   i =      . Môđun củ a s    ph  c   z là  A.   3.   B.   41 .   C.   1.   D.   9.  Câu 3.   Cho s    ph  c   5   4 z   i =      . S    ph  i c  a   z   có tọa độ    m bi   A.   (   ) 5; 4    .   B.   (   ) 5;   4    .   C.   (   ) 5;   4       .   D.   (   ) 5; 4   .  Câu 4.   Cho s    ph  c   6   7 z   i =   +   . S    ph  p c  a   z là  A.   6   7 z   i =   +   .   B.   6   7 z   i = −      .   C.   6   7 z   i = −   +   .   D.   6   7 z   i =      .  Câu 5.   Các s    thự c   , x y   thỏa mãn:   (   ) 3   5   2   1 x   y   xi   y   x   y i +   +   =      +      là  A.   (   )   1   4 ;   ; 7   7  x y       =              B.   (   )   2   4 ;   ; 7   7  x y        =              .  C.   (   )   1   4 ;   ; 7   7  x y       =           D.   (   )   1   4 ;   ; 7   7  x y       =                 .  Câu 6.   Cho hai s    ph  c   1   1   2 z   i =   +   và   2   2   3 z   i =      . Kh    Sai ?  A.   2 1 4   7 5   5  z   i z   = −      .   B.   1 1   2 5   1 z   z   i       = − +   .  C.   1   1   2 .   9 z   z z   i +   =   + .   D.   1   2 .   65 z z   =   .  Câu 7.   Cho hai s    ph  c   1   1   2 z   i =   +   và   2   2   3 z   i =      . Ph  o c  a s    ph  c   1   2 3   2 w   z   z =      là  A.   12.   B.   11.   C.   1.   D.   12 i .  Câu 8.   Cho s    ph  c   4   3 z   i =      . Ph  c, ph  o c  a s    ph  c   z l   A.   4;   3    .   B.   4;3    .   C.   4;3 .   D.   4;   3       .  Câu 9.    m   (   ) 1;3 M      là điể m bi  a s    ph  c  A.   1   3 z   i = − +   .   B.   1   3 z   i =      .   C.   2 z   i =   .   D.   2 z   =   .  Câu 10.   S    ph  c   7   17 5  i z   i   =      có phần thự c là  A.   2.   B.   9 13   .   C.   3.   D.   3    .  Câu 11.   Các s    thự c   , x y   thỏa mãn:   (   )   (   )   (   )   (   ) 2   3   1   2   3   2   2   4   3 x   y   x   y i   x   y   x   y   i +   +   + −   +   =      +   +         là  A.   (   )   9   4 ;   ; 11   11  x y       =                 B.   (   )   9   4 ;   ; 11 11  x y       =          C.   (   )   9   4 ;   ; 11   11  x y       =              D.   (   )   9   4 ;   ; 11 11  x y       =           

Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm dạng đại số và các phép toán trên tập số phức

1  GROUP NHÓM TOÁN NGÂN HÀNG CÂU H  I TR  C NGHI  M 2017  CHUYÊN ĐỀ   : S    PH  C         001  C©u 1 :   Trên m  t ph  ng t  a đ    Oxy, t  p h  p đi  m bi  u di  n các s    ph  c z th  a mãn đi  u ki  n       2 2        i zi  là:  A.            2   2  x   1   y   2   4             B. 2   1   0 x   y         C. 3   4   2   0 x   y          D.            2   2  x   1   y   2   9            C©u 2 :   Cho s    ph  c   z th  a mãn: 2 z   2   3i   2i   1   2z             . T  p h  p đi  m bi  u di  n cho s    ph  c z là:  A. 20x   16y   47   0          B. 20x   16y   47   0         C. 20x   16y   47   0          D. 20x   16y   47   0         C©u 3 :   Ph  n th  c c  a s    ph  c z th  a mãn               2  1   2   8   1   2 i   i z   i   i z                là  A.   - 6   B.   - 3   C.   2   D.   - 1  C©u 4 :   Môdun c  a s    ph  c     3  5   2   1 z   i   i             là:  A.   7   B.   3   C.   5   D.   2  C©u 5 :   Có bao nhiêu s    ph  c z th  a mãn đi  u ki  n 2 2  z   z   z      A.   0   B.   1   C.   3   D.   2  C©u 6 :  Thu g  n z =     2  3 2   i    ta đư  c:  A. i z   6 11       B.   z =   - 1   -   i   C. i z   3 4       D.   z =   - 7 + 6 2 i  C©u 7 :   Trên m  t ph  ng t  a đ    Oxy, t  p h  p đi  m bi  u di  n các s    ph  c z th  a mãn đi  u ki  n       2 2        i zi  là:  A. 3   4   2   0 x   y          B.            2   2  x   1   y   2   9            C.            2   2  x   1   y   2   4             D. 2   1   0 x   y       2  C©u 8 :   C  p s    (x; y) thõa mãn đi  u ki  n (2   3   1)   (   2 )   (3   2   2)   (4   3) x   y   x   y i   x   y   x   y   i                               là:  A. 9   4 ; 11   11                    B. 9   4 ; 11 11                C. 4   9 ; 11   11                    D. 4   9 ; 11 11               C©u 9 :   Trong các k  t lu  n sau, k  t lu  n nào sai?  A.   Mô đun c  a s    ph  c z là m  t s    th  c   B.   Mô đun c  a s    ph  c z là m  t s    th  c  dương  C.   Mô đun c  a s    ph  c z là m  t s    ph  c   D.   Mô đun c  a   s    ph  c z là m  t s    th  c  không âm  C©u 10 :   K  t qu    c  a phép tính (a   bi)(1   i)       (a,b là s    th  c) là:  A. a   b   (b   a)i          B. a   b   (b   a)i          C. a   b   (b   a)i          D. a   b   (b   a)i         C©u 11 :   Cho s    ph  c z = 5      4i. S    ph  c đ  i c  a z có đi  m bi  u di  n là:  A.   ( - 5; - 4)   B.   (5; - 4)   C.   (5;4)   D.   ( - 5;4)  C©u 12 :   Rút g  n bi  u th  c z   i   i   i (2   )(3   )          ta đư  c:  A. z   6    B. z   i 1   7       C. z i 2   5       D. z   i 5   C©u 13 :   Cho s    ph  c z   i 5   4       . Môđun c  a s    ph  c   z   là:  A.   1   B. 41   C.   3   D.   9  C©u 14 :   S    ph  c z thõa mãn đi  u ki  n 5   3   1   0  i z   z            là:  A. 1   3 và 2 -   3 i   i    B.      C. 1   3 và 2 -   3 i   i    D. 1   3 và 2 -   3 i   i   C©u 15 :   Rút g  n bi  u th  c z   i   i i (2   4 )   (3   2 )                ta đư  c:  A) z   i     B) z i 1   2       C) z i     D) z i 5   3      A. z i 1   2       B. z   i     C. z   i     D. z i 5   3      C©u 16 :   Gi  i phương trình sau:     2  z   1   i z   18   13i   0               A. z   4   i , z   5   2i          B. z   4   i , z   5   2i       

600 câu hỏi trắc nghiệm chuyên đề số phức – Nhóm Toán

TOANMATH.com   Trang 1  CHUYÊN ĐỀ  BÀI 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC  Mục tiêu     Kiến thức  +   Nhận biết được các phép toán cộng, trừ hai số phức; phép nhân số phức; phép chia hai số phức.     Kĩ năng  +   Thành thạo các phép toán cộng, trừ hai số phức và vận dụng vào giải được một số bài toán liên  quan.  +   Thành thạo phép nhân hai số phức và vận dụng vào giải được một số bài toán liên quan.  +   Thành thạo phép toán chia hai số phức và vận dụng vào giải được một số bài toán liên quan.  +   Vận dụng các phép toán đã học để giải quyết một số bài toán tổng hợp.TOANMATH.com   Trang 2  I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM  1. Phép cộng số phức    Tổng của hai số phức       ,   , ,   , z   a   bi z   a   b i a b a b                               là số phức         . z   z   a   a   b   b   i                      Tính chất  Với mọi   ,   , z z   z             ta có:  Tính chất kết hợp:             ; z   z   z   z   z   z                         Tính chất giao hoán:   ; z   z   z   z             Cộng với 0:   0   0   ; z   z   z                        0. z   z   z   z               2. Phép trừ số phức  Hiệu của hai số phức       ,   , ,   ,   : z   a   bi z   a   b i a b a b                                                 . z   z   z   z   a   a   b   b   i                               3. Phép nhân số phức    Tích của hai số phức       ,   , ,   , z   a   bi z   a   b i a b a b                                là  số phức         . zz   aa   bb   ab   a b i                         Tính chất  Với mọi   ,   , z z   z             ta có:     ; zz   z z                    ; zz   z   z   z z             1.   .1   ; z   z   z              . z   z   z   zz   zz                   4. Phép chia cho số phức khác 0  Số nghịch đảo của số phức   0 z      kí hiệu là   1 , z    là số phức  thỏa mãn   1   1, zz       , hay   1  2  1   . z   z  z       Thương của phép chia số phức   z    cho số phức   z   khác   0,  Ví dụ:            5   4   3   2   8   2 . i   i   i               Ví dụ:  2  5   7  z   i       có số đối là   2  5   .  7  z   i         Ví dụ:            5   4   3   2   2   6 . i   i   i               Ví dụ:                      5   4   3   2   15   8   12   10   23   2 . i   i   i   i                        Chú ý:     Ta có thể thực hiện phép cộng và phép nhân  các số phức theo các quy tắc như phép toán  cộng và nhân các số thực.      Ví dụ:                 2 2   2  4   2   2   2   . z   z   i   z   i   z   i                  Ví dụ:  3   2 z   i       có số phức nghịch đảo là       1   1   3   2  . 3   2   .  13   13   13  i   i  z              Ví dụ:

Bài giảng các phép toán trên tập hợp số phức

Ngư  i biên so  n: Nguy  n Vi  t Anh      ChemHUS    i H  c Khoa H  c T    Nhiên        i H  c Qu  c Gia Hà N  i  SĐT: 01655911717   -   Email: Nguyenvietanh1@hus.edu.vn  PHƯƠNG PHÁP GI  I NHANH B  NG CASIO  A ..   Các phép tính thông thư  ng, Tính Moldun, Argument, Conjg c  a 1 s    ph  c  hay 1 bi  u th  c s    ph  c.   Và tính s    ph  c có mũ cao.....  Bài toán t  ng quát :   Cho Z = z 1 .z 2   -   z 3 +z 4  z 5   . Tìm Z và tính Moldun, Argument và s    ph  c liên  h  p c  a s    ph  c Z ???  Phương pháp gi  i:  Ví d    1 :       thi minh h  a c  a b    GD và ĐT l  n 2 năm 2017  Tìm s    ph  c liên h  p c  a s    ph  c z = i(3i + 1)  A: 3      i   B:   - 3 + i   C: 3 + i   D:   - 3      i  Gi  i:  Chuyên Đề :   S    PH  N S    PH  C ( Nâng cao các d    thi )  T  t c    các bài toán s    ph  u th  c hi  n trong ch    MODE 2 (CMPLX)   ngo  i tr    1 s  bài toán đặ c bi  t. Chú ý 2 ph  n D và E        máy tính      ch       Deg không để   dướ i d  ng Rad và vào ch       s    ph  c Mode 2     Khi đó chữ    i  n    o s    là nút “ENG” và ta thự c hi  n b  m máy n hư 1 phép tính bình thườ ng.     Tính Moldun, Argument và s    ph  c liên h  p c  a s    ph  c Z :     Moldun:    n shift + hyp. Xu  t hi  n d  u tr    tuy  i thì ta nh  p bi  u th   trong r  i l  y k  t qu      Tính Arg    n Shift 2 ch  n 1. Tính liên h  p    n shift 2 ch  n 2   Mode 2 và    n shift 2 ch  n 2     Nh  p như sa u: Conjg(i(3i + 1)) và    n b  ng     K  t qu    ra   - 3      i v  y D đúng  Ví d    2:       thi minh h  a c  a b    GD và ĐT l  n 2 năm 2017  Tìm moldun c  a s    ph  c z th  a mãn z(2    i) + 13i = 1  A: |z| =   B: |z| = 34   C: |z| =   D: |z| =  Gi  i:     Chuy  n v        z      1 phía     Mode 2 và    n shift hyp     Nh  p vào như sau: |   1 - 13i  2 - i   | sau đó l  y k  t qu    và th  y A đúng.  ****: V  i s    ph    máy tính Casio fx 570 vn plus và Vinacal ES plus II có th   b  ng. Còn Casio fx 570 es plus thì s    Math Error.  Bài t  p t    luy  n:

Phương pháp giải nhanh bài toán số phức bằng máy tính Casio – Nguyễn Việt Anh

ThS. Nguyeãn Vaên Rin - Sñt: 089.8228.222   Trang 1/27 – Mã đề thi 123 TT LTĐH 30 TRẦN THÚC NHẪN – HUẾ   CHƯƠNG IV.  ThS. Nguyeãn Vaên Rin   SỐ PHỨC  Sñt: 089.8228.222   Sưu tầm & chọn lọc  Họ và tên:   ...............................................................;   Số báo danh:   ...................................... MÃ ĐỀ THI 123 Câu 1.   (ĐỀ MINH HỌA – 2017)   Cho số phức   3   2 z   i       . Tìm phần thực và phần ảo của số phức   z   . A. Phần thực bằng   3    và phần ảo bằng   2 i    . B. Phần thực bằng   3    và phần ảo bằng   2    . C. Phần thực bằng   3 và phần ảo bằng   2 i . D. Phần thực bằng   3 và phần ảo bằng   2 .  Câu 2.   (ĐỀ MINH HỌA – 2017)   Cho hai số phức   1   1 z   i       và   2   2   3 z   i       . Tính môđun của số phức   1   2  z   z    . A.   1   2   13 z   z       .   B.   1   2   5 z   z       .   C.   1   2   1 z   z       .   D.   1   2   5 z   z       .  Câu 3.   (ĐỀ MINH HỌA – 2017)   Cho số phức   z   thỏa mãn       1   3 i z   i          . Hỏi biểu diễn của   z   là điểm nào trong các điểm   ,   ,   , M N P Q    A. Điểm   P .   B. Điểm   Q   . C. Điểm   M   D. Điểm   N .  Câu 4.   (ĐỀ MINH HỌA – 2017)   Cho số phức   2   5 z   i       . Tìm số phức  w   iz   z     A.   7   3 w   i       .   B.   3   3 w   i       .   C.   3   7 w   i       .   D.   7   7 w   i       .  Câu 5.   (ĐỀ MINH HỌA – 2017)   Kí hiệu   1   2   3  ,   , z   z   z   và   4  z   là bốn nghiệm phức của phương trình  4   2   12   0 z   z          . Tính tổng   1   2   3   4  T   z   z   z   z            A.   4 T      .   B.   2   3 T      .   C.   4   2   3 T         .   D.   2   2   3 T         .  Câu 6.   (ĐỀ MINH HỌA – 2017)   Cho các số phức   z   thỏa mãn   4 z      . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức       3   4 w   i z   i          là một đường tròn. Tính bán kính   r   của đường tròn đó. A.   4 r      .   B.   5 r      .   C.   20 r      .   D.   22 r      .  Câu 7.   (ĐỀ THỬ NGHIỆM – 2017)      M   trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức   z   . Tìm phần thực và phần ảo của số phức   z   . A. Phần thực là   4    và phần ảo là   3 . B. Phần thực là   3 và phần ảo là   4 i    . C. Phần thực là   3 và phần ảo là   4    . D. Phần thực là   4    và phần ảo là   3 i .  Câu 8.   (ĐỀ THỬ NGHIỆM – 2017)   Tìm số phức liên hợp của số phức       3   1 z   i   i       . A.   3 z   i       .   B.   3 z   i       .   C.   3 z   i       .   D.   3 z   i       .  Câu 9.   (ĐỀ THỬ NGHIỆM – 2017)   Tính môđun của số phức   z   thỏa mãn       2   13   1 z   i   i          .  O   x  y 3 4    MThS. Nguyeãn Vaên Rin - Sñt: 089.8228.222   Trang 2/27 – Mã đề thi 123  A.   34 z      .   B.   34 z      .   C.   5   34  3  z      .   D.   34  3  z      .  Câu 10.   (ĐỀ THỬ NGHIỆM – 2017)   Kí hiệu   0  z   là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình  2 4   16   17   0 z   z          .Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức   0  w   iz    ? A.   1 1 ;2 2  M                         .   B.   2 1 ;2 2  M                            .   C.   3 1 ;1 4  M                            .   D.   4 1 ;1 4  M                           .  Câu 11.   (ĐỀ   THỬ   NGHIỆM      2017)   Cho   số   phức       , z   a   bi   a b             thỏa   mãn      1   2   3   2 . i z   z   i             Tính   . P   a   b     A.   1   .  2  P      B.   1. P      C.   1. P      D.   1   .  2  P     Câu 12.   (ĐỀ THỬ NGHIỆM – 2017)   Xét số phức   z   thỏa mãn         10 1   2   2   . i   z   i  z              Mệnh đề nào dưới đây đúng? A.   3   2.  2   z       B.   2. z      C.   1   .  2  z      D.   1   3   .  2   2  z      Câu 13.   (ĐỀ KHTN LẦN 1 – 2017)   Nếu số phức   z   thoả mãn   1 z      thì phần thực của   1  1   z    bằng A.   1  2   .   B.   1  2     .   C.   2 .   D. Giá trị khác.  Câu 14.   (ĐỀ KHTN LẦN 1 – 2017)   Cho   , , a b c   là các số thực và   1   3  2   2  z   i       . Giá trị của           2   2  a   bz   cz   a   bz   cz             bằng A.   a   b   c       .   B.   2   2   2  a   b   c   ab   bc   ac                . C.   2   2   2  a   b   c   ab   bc   ac                .   D.   0 .  Câu 15.   (ĐỀ KHTN LẦN 1 – 2017)   Cho   1   2   3  ;   ; z   z   z   là các số phức thỏa mãn   1   2   3   0 z   z   z          ,  1   2   3   1 z   z   z          . Khẳng định nào dưới đây là   sai ? A.   3   3   3   3   3   3  1   2   3   1   2   3  z   z   z   z   z   z                .   B.   3   3   3   3   3   3  1   2   3   1   2   3  z   z   z   z   z   z                . C.   3   3   3   3   3   3  1   2   3   1   2   3  z   z   z   z   z   z                .   D.   3   3   3   3   3   3  1   2   3   1   2   3  z   z   z   z   z   z                .  Câu 16.   (ĐỀ KHTN LẦN 1 – 2017)   Phương trình   2   1   0 z   iz          có bao nhiêu nghiệm trong tập số phức. A.   2 .   B.   1 .   C.   0 .   D. Vô số.  Câu 17.   (ĐỀ KHTN LẦN 1 – 2017)   Gọi   1  z   ,   2  z   là hai nghiệm phức của phương trình   2   1   0 z   z          . Giá trị của   1   2  z   z    bằng A.   0 .   B.   1 .   C.   2 .   D.   4 .

250 bài tập trắc nghiệm số phức chọn lọc – Nguyễn Văn Rin

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam  Chương IV  Bài 1 .   Số Phức   và Các Phép Toán  1  Lớp Toán Thầy  Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  4   SỐ PHỨC  A - L Ý   THUY    T  I .     nh   nghĩa.  Mỗi biểu thức có dạng a   bi    với 2  ,   ,   1 a   b   i         Trong đó:  Gọi a   là phần thực, b   là phần ảo của số phức . z  S  i   mà 2   1 i        c g  i l      n v     o.  Tập s  z   a   bi        2  {   |   ,   ;   1}. a   bi a   b   i            Tập số thực .    Ví   dụ   1.   S  3   2 z   i       có phần thực là   .....   phần ảo là .....     biệt :  Khi ph  n    o 0 b   z   a   z                là s    th  c.  Khi phần thực 0 a   z   bi   z             là số thuần ảo.  Số 0   0   0 i       vừa là số thực, vừa là số ảo.  II .   Hai   s    ph  c   b  ng   nhau .  Hai s    ph  c là   b  ng nhau   n  u ph  n th  c và ph  n    o c  a chúng tương    ng b  ng nhau.  T  c là a   c a   bi   c   di   b   d                    v  i ,   ,   ,   . a   b   c   d      Ví   dụ   2 .  a).   Tìm các số thực ,   , x   y   biết rằng (2   1)   (3   2)   (   2)   (   4) . x   y   i   x   y   i                     b).   Tìm các số thực ,   , x   y   sao cho ' z   z    biết           3   9   3 ,   '   12   5   7   ; z   x   i   z   y   i                  c).   Tìm các số thực ,   , x   y   biết               2   3 2  (   2   ) 3   1   1   26   14 . x   y   i   i   y x   i   i                        Lời   giải  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  III.   Biểu   diễn   hình   học   của   số   phức    m ( ; ) M a b   trong h    tr  c t  a đ    vuông góc c  a m  t ph  ng đư  c g  i là đi  m bi  u di  n c  a s   ph  c . z   a   bi       Ví   dụ   3 .  Quan sát hình vẽ bên cạnh, ta có:   A   biểu diễn cho số phức: ..................   B   biểu diễn cho số phức: ..................   C   biểu diễn cho số phức: ..................   D   biểu diễn cho số phức: ..................   À   I 1.   KHÁI NI  M S    PH  CTrung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam  Chương IV  Bài 1 .   Số Phức   và Các Phép Toán  2  Lớp Toán Thầy  Diệp Tuân  Te l: 0935.660.880   Ví   dụ   4 .   Trong mặt phẳng phức, gọi A   , B   , C   , D   lần lượt là các điểm biểu diễn số phức   của 1   1 z   i   , 2   1   2 z   i       , 3   2 z   i       , 4   3 z   i    . Gọi S   là diện tích tứ giác ABCD   . Tính S   .  Lời   giải  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ..................  IV.   Mô    của   số   phức  Gi    s    s    ph  c z   a   bi         c bi  u di  n b  i đi  m ( ; ) M a b   trên  m  t ph  ng t  a đ  .      dài c  a véctơ OM     c g  i là môđun c  a s    ph  c z   và    c kí hi  u là . z  Khi đó: 2   2   . z   OM   a   bi   a   b               K  t qu  : z    ta có: 2 2  0,   0   0, z   z   z   z   z                và 1   2   1   2 .   .   , z z   z   z  2  .   , z z   z  , z   z  1 1 2   2  z z z   z        Ví   dụ   5 .   Tìm môđun của các số phức sau: 1   3 z   i       và 3   2 z   i      Lời   giải  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  V.   Số   phức   liên   hợp  1.     nh   nghĩa .   Cho s    ph  c , ( ,   ). z   a   bi   a   b         Ta g  i a   bi    là s    ph  c liên h  p c  a z  và đư  c kí hi  u là . z   a   bi     - b  b  a  O  y  x  z   = a - bi  z = a + bi

Số phức và các phép toán về số phức – Diệp Tuân

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam  Chương IV  Bài 2 .   Tập Hợ p Điểm - Cực Trị  75  Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  A - L Ý   THUY    T  I .     1. Đ  nh nghĩa:     m ( ; ) M a b   trong h    tr  c t  a đ   vuông góc c  a m  t ph  ng đư  c g  i là đi  m bi  u  di  n c  a s    ph  c . z   a   bi      2. Tính ch  t.  C   m ( ; ),   ( ;   ) M a b   M   a   b       bi  u di  n z   và z    i x  ng v  i nhau qua tr  c hoành . Ox   Ví d    1 .   Quan sát hình v    bên c  nh, ta có:    m (2;1) A   bi  u di  n cho s    ph  c 1   2   . z   i        m (....;....) B   bi  u di  n cho s    ph  c 2   ........... z       m (....;....) C   bi  u di  n cho s    ph  c 3   ........... z       m (....;....) D   bi  u di  n cho s    ph  c 4   ........... z       m (....;....) E   bi  u di  n cho s    ph  c 5   ........... z       m (....;....) F   bi  u di  n cho s    ph  c 6   ........... z     L  i   gi  i  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................   Ví d    2 .   G  i ,   , A B C   l  n lư  t là đi  m bi  u di  n c  a các s    ph  c 1   3   2 , z   i     2   2   3 z   i       , 3   5   4 z   i       .  1 ) .   Ch  ng minh ,   , A B C   là ba đ  nh c  a tam giác. Tính chu vi tam giác đó.  2 ) .   G  i D   là đi  m bi  u di  n c  a s    ph  c z   . Tìm z     ABCD   là hình bình hành.  3 ) .   G  i E   là đi  m bi  u di  n c  a s    ph  c ' z   . Tìm ' z   sao cho tam giác AEB   vuông cân t  i E   .  L  i   gi  i  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  B À   I 2 .   T       CỰC   TRỊ CỦA SỐ PHỨCTrung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam  Chương IV  Bài 2 .   Tập Hợp Điểm - Cực Trị  76  Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880   Ví d    3 .   G  i 1   2   3   4 ,   ,   , A   A   A   A   l  n lư  t l    bi  u di  n h ì   nh h  c c  a c  c s    ph  c 1   2 1   3 ,   3   2 , z   i   z   i           3   4 5   ,   4   5 z   i   z   i            .  1) .   T  nh đ    d  i c  c đo  n 1   2   1   3   1   4 ,   , A A   A A   A A   .  2) .   T ì   m s    ph  c c    bi  u di  n l      m M   sao cho 1   2   4 A A A M   l    h ì   nh b ì   nh h  nh.  L  i   gi  i  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................   Ví   d    4 .   G  i   các     m ,   , A B C   trong m  t ph  ng ph  c   l  n lư  t   theo th    t    bi  u di  n   các   s  4 1  i i      ,        1   1   2   , i   i     2   6 3  i i     .  1) .   Ch  ng minh ABC   là tam giác vuông cân  2) .   Tìm s    ph  c bi  u di  n b  i đi  m D   sao cho ABCD   là hình vuông.  L  i   gi  i  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ..................  3. M  t s    bài toán tìm t  p h  p đi  m và phương pháp .  Bài toán 1.   Tập hợp là một đường một đường thẳng 0 Ax   By   C         1.   Nhận dạng trắc nghiệm .  Khi g  p gi    thi  t s    ph  c có d  ng z   a   bi   z   c   di               1 .   Ta nghĩ   ngay tập hợp biễu diễn   của  số phức z   là điểm     ; M   x y   nằm trên đường thẳng 0 Ax   By   C          (   AB  với               ,   ,   , A a b   B c d     Khi biến đổi điều kiện của giả thiết về:   0 x      là trục tung.    0 y      là   trục hoành .  2.   Phương pháp.     Bư  c 1.   G  i     ; M   x y   là đi  m bi  u di  n c  a s    ph  c     .   , z   x   y i   x y            Bư  c 2 .   Bi  n đ  i đi  u ki  n  1       tìm m  i l iên c  a x   và y   gi  ng như   các d  ng trên.     Bư  c 3 .   K  t lu  n .  3.   Bài tập minh họa.   Bài t  p 1 . Trong m  t ph  ng ph  c, tìm t  p h  p các đi  m bi  u di  n c  a s    ph  c z   th  a mãn đi  u

Bài toán tìm tập hợp điểm và cực trị của số phức – Diệp Tuân

GV: Nguy  n Xuân Chung  S    PH  C - PH  N I  Nhân d  p mùa thi THPTQG 2020 s  p t  i g  n, ta th    nhìn nh  n v    các bài toán s    ph  c   thi ĐH   -   CĐ năm 2012 , c  ng c    ki  n th  c và k    năng giả i toán v    s    ph  c   trong vài năm gần đây , góp ph  n giúp các em 2K2    t k  t qu    t  t   hơn trong kỳ   thi.  1. Các câu trích t       thi tuy  n sinh    i h  c -   Cao đẳ ng   năm 2012  Ví d    1. (BGD -      thi tuy  n sinh    i h  c   2012   - Kh  i A - A1 Câu 9b)  Cho s    ph  c   z   th  a mãn   5(   )   2  1  z   i   i z  +   =    +   . Tính môđun củ a s    ph  c   2  1 w   z   z =   +   +   .  Phân tích.  Trong câu này chúng ta c  ng c    ki  n th  c và luy  n t  p k    năng về  - Các phép toán c  ng, tr  , nhân, chia s    ph  c - S    ph  c liên h  p, ph  n th  c, ph  n    o,   môđun củ a s    ph  c. Nhi  m v     u tiên là tìm ra s    ph  c   z   , sau đó thế   vào   w   , rút g  n nay ta có th    h    tr    máy tính Casio để   làm thay vi  c rút g  m chí c    vi  c tìn   z   .  L  i gi  i. Cách 1.   (T    lu  n)   u ki  n   1 z      . T    gi    thi  t suy ra   (   ) 5   5   2   2 z   i   i   i z +   =      +      (1) . Gi    s    (   ) ,   , z   a   bi   a b =   +       thì t    ( 1 ) ta có   (   )(   ) 5   5   6   2   2   2   2 a   bi   i   i   a   bi   a   b   bi   ai    +      =      +   =   +   +     (   )   (   )   3   2   0  3   2   7   6   0   1   1  7   6   0  a   b a   b   a   b   i   a   b   z   i a   b        =           +      +   =         =   =      =   +       +   =    (Th  a mãn).  Khi đó   (   ) 2 2   2   2  w   1   2   1   2   3   w   2   3   13 z   z   i   i   i =   +   +   =   +   +   +   =   +      =   +   =   . V  y   1 z   i =   +   và   13 w   =   .  Cách 2 . (H    tr    máy tính - Tr  c nghi  m) T    (1) ta có :   (   )   (   )(   )   (   )(   ) 2   2 2   6   2   2   6   5  2   5   2   6   1  2   5  i   i   i i z   z   i   z   i i     +   +                = −   +      =   =   +       . T       w   là   2  1+Ans   Ans   13 +   =   . (Công th  c trên ta s    tìm hi  u      VD 20).  Ví d    2 . (BGD -      thi tuy  n sình    i h  c   2012   - Kh  i B Câu 9b)  G  i   1 z   và   2 z   là hai nghi  m ph  c c    2   2   3   4   0 z   iz       =   . Vi  t d  ng giác c  a   1 z   và   2 z   .  Phân tích.  Trong câu này chúng ta c  ng c    ki  n th  c và luy  n t  p k    năng về  -    nh lý VietGV: Nguy  n Xuân Chung - M    c  a s    ph  c - D  ng   lượ ng giác c  a s    ph  c.  L  i gi  i.  Vì   1 z   và   2 z   là hai nghi  m ph  c c    2   2   3   4   0 z   iz       =   nên ta có:   1   2 .   4 z z   = −   , do     1   2   2 z   z   r =   =   =   . B  i v  y   ta đặ t   (   )   (   ) 1   2 2 cos   sin   ,   2 cos   sin z   i   z   i          =   +   = −      khi đó ta cũng có   1   2   2   3 z   z   i +   =   nên   3 4 sin   2   3   sin   2   3  i   i      =      =      =   . V  y   1   2  4   4 2 cos   sin   ,   2 cos   sin 3   3   3   3  z   i   z   i                  =   +   =                          .  Ví d    3. (BGD -      thi tuy  i h    - Kh  i D Câu 9a)  Cho s    ph  c   z   th  a mãn   (   )   2(1   2 )  2   7   8  1  i i z   i i  + +   +   =   + +   . Tìm môđun củ a s    ph  c   1 w   z   i =   +   +   .  Phân tích.  Trong câu này chúng ta c  ng c    ki  n th  c và luy  n t  p k    năng về  - Các phép toán c  ng, tr  , nhân, chia s    ph  c - S    ph  c liên h  p, ph  n th  c, ph  n    a s    ph  c.  L  i gi  i. Cách 1.   (T    lu  n) T    gi    thi  t suy ra  (   )   (   ) (   )(   )   (   )   (   )  2(1   2 ) 1 2   7   8   2   (1   2 ) 1   7   8 1   1  i   i i z   i   i z   i   i   i i   i  +    +   +   =   +      +   +   +      =   + +     (   )   (   )   (   )(   ) (   )(   ) 4   7   2 4   7   15   10  2   3   7   8   2   4   7   2   2   2   5  i   i i   i i z   i   i   i z   i   z   i   i   i  +    +   +    +   +   +   =   +      +   =   +      =   =   = +   +    3   2 z   i    =   +   . T       2   2  1   4   3   4   3   5 w   z   i   i   w =   +   +   =   +      =   +   =   . V  y   3   2 z   i =   +   và   5 w   =   .  Cách 2 . (H    tr    máy tính - Tr  c nghi  m) T    gi    thi  t   (   )   2(1   2 )  2   7   8  1  i i z   i i  + +   +   =   + +   ta có (nh  p máy):   (   ) (   )(   )  2 1   2 7   8   3   2  2   2   1  i i z   i i   i   i  + + =      =   + +   +   +   . T       w   là   Ans   1   5 i +   +   =   .  Ví d    4. (BGD -      thi tuy  i h    - Kh  i D Câu 9b)  Gi    (   ) 2   3 1   5   0 z   i z   i +   +   +   =   trên t  p h  p các s    ph  c.  Phân tích.